Учебники информатика, математика примеры для курсовых и типовых расчетов

Функции и их графики Формула Тейлора представления числовой функции многочленом

Основные обозначения Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках.

• Первый способ задания функции: табличный Если множество конечно и состоит из элементов , то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе . Часто это делают в виде таблицы
• Второй способ задания функции: с помощью формулы Если множество бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится.
• Степенная функция с натуральным показателем непрерывна на множестве действительных чисел.
  • Многочлен который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым.
  • Показательная функция (экспонента) с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.
  • Логарифмическая функция
  • Функция синус косинус тангенс Тригонометрические функции — вид элементарных функций, изучаемых в тригонометрии. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), секанс (sec x) и косеканс (cosec x)…
  • Функция котангенс
  • Обратные тригонометрические функции Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.
  • Арифметическая прогрессии Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d , называется арифметической прогрессией. Число d называется разностью прогрессии.
• Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления Во многих случаях функцию приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся.

  Первый и второй замечательные пределы

  • Многочлен Тейлора Многочлен , наиболее подходящий (с некоторой точки зрения) для этой цели, называется многочленом Тейлора для данной функции
    • Коэффициенты Тейлора
  • Остаток в формуле Тейлора и его оценка
    • Остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа
  • Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

  Общее определение предела Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

• Общие свойства пределов В этом разделе мы на основе изученных выше свойств бесконечно малых величин (то есть функций, имеющих предел, равный 0) выясним свойства функций, имеющих произвольное значение предела.

Определение, обозначения и типы матриц Построение поля комплексных чисел

• Определение
• Обратная матрица Иначе говоря, обратная матрица равна единице, делённой на определитель исходной матрицы и умноженной на транспонированную матрицу
• Построение поля комплексных чисел Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен z2 + 1 имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно.

• Тригонометрическая форма комплексного числа -- это указание числа по двум его характеристикам: модулю и аргументу.
• Показательная форма комплексного числа Существует также показательная форма комплексного числа связанная с тригонометрической по формуле Эйлера

Общая схема исследования функции и построения её графика После того как мы обсудили многие аспекты поведения функции и способы их исследования, сформулируем общую схему исследования функции. Эта схема даст нам практический способ построения графика функции, отражающего основные черты её поведения. Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума

• Метод одной касательной В целях уменьшения числа обращений к значениям производной функции применяют так называемый метод одной касательной.
• Метод Ньютона алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции.

Дифференциал (от лат. differentia — разность, различие) в математике, главная линейная часть приращения функции

Производная обратной функции Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции

• Дифференциалы высших порядков и их неинвариантность
• Производные функции, заданной параметрически
• Производная функции, заданной неявно
• Приближённое вычисление производных

Правило Лопиталя на основе теоремы Коши мы выведем правило, которое даст нам мощный способ вычисления пределов отношений двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин. Сформулируем его сначала для отношения бесконечно малых.

Система координат и координаты вектора Уравнение плоскости

Проекции вектора Здесь и в дальнейшем под словами "проекция точки" или "проекция вектора" всегда будем понимать ортогональную проекцию.

Обзор исследований в области искусственного интеллекта

• Поскольку теория экспертных систем выросла из более общей концепции искусственного интеллекта, то нет ничего удивительного в том, что проблематика этих областей имеет много общего. На некоторых из таких связей акцентируется внимание в последующих разделах при обзоре литературы.
• "Искусственный интеллект (ИИ) — это область информатики, которая занимается разработкой интеллектуальных компьютерных систем, т.е. систем, обладающих возможностями, которые мы традиционно связываем с человеческим разумом, — понимание языка, обучение, способность рассуждать, решать проблемы и т.д."
• Большинство исследователей весьма скептически относятся к возможности использования в прикладных системах таких методик поиска решений проблем, как "порождение и проверка" и "восхождение на гору". Серьезные технические сложности программной реализации оценочных функций навели на мысль, что такая методика недооценивает возможности узкоспециальных знаний в конкретной предметной области и переоценивает возможности обобщенного подхода к воспроизведению механизмов человеческого мышления.
• Прежде чем приступить в обсуждению специализированных языков представления знаний, остановимся на более общей теме языков программирования задач искусственного интеллекта. В этой главе мы не задавались целью научить читателя пользоваться определенным языком, а стремились познакомить с некоторыми темами, касающимися представления и управления, которые имеют отношение к программной реализации экспертных систем.
• Для описания многих видов абстрактных данных в информатике вообще и в теории искусственного интеллекта, в частности, очень широко используется терминология, заимствованная из теории графов. Следующие определения приведены здесь для того, чтобы показать, как эти заимствованные термины трактуются при описании структурированных объектов, что несколько отличается от их трактовки в "родной" математической сфере.
• В областиискусственного интеллекта и в современной психологии утверждение, что разумное поведение направляется правилами, превратилось уже в аксиому. Даже в "большом" мире люди склонны связывать уровень интеллектуальности со следованием правилам, и мы все чаще при объяснении разумности обращаем внимание на то, насколько при этом соблюдаются правила.
• Еще в конце 1970-х годов стала отчетливо просматриваться тенденция к использованию в исследованиях в области искусственного интеллекта "формальных" методов, т.е. основанных на аппарате математической логики.
• Во многих реальных приложениях приходится сталкиваться с ситуацией, когда автоматический решатель задач имеет дело с неточной информацией. В этой главе мы рассмотрим основные идеи, касающиеся количественной оценки неопределенности и методов формирования нечетких суждений.
• Термин приобретение знаний носит обобщенный характер и совершенно нейтрален к способу передачи знаний. Например, передача может осуществляться с помощью специальной программы, которая в процессе обработки большого массива историй болезни устанавливает связь между симптомами и заболеваниями. А вот термин извлечение знаний (knowledge elicitation) относится именно к одному из способов передачи знаний — опросу экспертов в определенной проблемной области, который выполняется аналитиком или инженером по знаниям.
• За последние 20 лет было разработано довольно много языков для представления знаний, причем большинство из них можно отнести к классу объектно-ориентированных. Как и в случае с использованием концепции фреймов, основная идея состоит в том, чтобы заключить данные и связанные с ними процедуры в некие структуры, объединенные механизмом наследования.
• В этой главе мы рассмотрим вопросы применения тех методов решения проблем, которые используются на практике при построении экспертных систем разного назначения, и постараемся увязать характерные черты этих методов со спецификой областей применения.
• Мы начали обсуждение методов решения проблем с эвристической классификации по той причине, что этот метод наиболее понятный. В следующих главах будут рассмотрены другие, более сложные методы, и вы сможете сравнить их.
• Включение в процесс анализа комбинированных гипотез значительно усложняет положение вещей. Пространство гипотез "разрастается", и его приходится каким-то образом структурировать, чтобы сделать обозримым. Метод иерархического построения и проверки гипотез пытается решить эту проблему с помощью явно выраженного таксо-нометрического представления пространства гипотез.
• Отличительной чертой методов решения проблем конструирования является формирование решения из более примитивных компонентов. Этим методы решения задач конструирования отличаются от методов, применяемых для задач классификации, когда решение выбирается из некоторого фиксированного множества.
• Существуют две причины, которые побуждают разработчиков экспертных систем делать их по возможности "прозрачными" для пользователя. Под прозрачностью при этом понимается способность системы объяснить пользователю, почему принято именно такое решение, вследствие каких рассуждений система пришла к тому или иному выводу.
• Более сложные и специализированные инструментальные средства, в частности системы с доской объявлений и системы обработки правдоподобия, будут детально рассмотрены дополнительно. В этой же главе мы представим общие тенденции в разработке и использовании инструментальных средств для построения экспертных систем.

• Реализация и внедрение систем с доской объявления — довольно сложный процесс, а сами системы требуют значительных вычислительных ресурсов. В этой главе будут рассмотрены следующие вопросы:

  • структура систем с доской объявлений;
    
  • анализ существующих на сегодняшний день систем этого типа и областей их применения;
    
  • обсуждение проблем реализации систем с доской объявлений и их эффективности.

В этой главе мы в общих чертах представим вычислительные методы, которые используются для отслеживания зависимостей между представлением в программе состояний, действий и предположений. Начнем мы с относительно простых систем, затем перейдем к более сложным. За последние 10 лет в области исследования методов формирования знаний на основе машинного обучения (в дальнейшем для краткости мы будем употреблять термин машинное обучение — machine learning) наблюдается бурный прогресс.
В этой главе мы рассмотрим два количественных метода реализации логических рассуждений при наличии неопределенности в структурированном пространстве гипотез. Оба подхода будут описаны достаточно подробно, а затем будет проведено их сравнение. Будет показано, что оба метода имеют под собой более убедительное математическое обоснование, чем метод, базирующийся на эмпирических коэффициентах неопределенности. Раньше уже неоднократно высказывалась идея, что экспертная система может содержать не одну форму представления знаний. Даже в таких ранних системах, как MYCIN, информация, специфическая для предметной области, хранилась в разных формах — например, в виде порождающих правил и в виде таблиц медицинских параметров. Альтернативой таким методам являются методы, основанные на пояснениях (explanation-based), которые позволяют выполнить обобщение на основе единственного обучающего экземпляра.