Высшая математика для студентов технических университетов

История искусства
Доисторическая эпоха
Индия и Китай Западная Азия
Эллада
Древнехристианская эпоха
Магометанское искусство в Индии
Дальнейшее развитие христианства
в Европе
Архитектура Запада
Романский стиль. Готика
Италия в эпоху возрождения
Фламандская и Голландская школы
Кандинский — теоретик искусства
Практические занятия
по информатике
Начертательная геометрия
Математика
Математический анализ
Типовые расчеты по математике
Информационные сети
Аппаратура передачи данных
Базы данных Access
Доступ к корпоративным
базам данных
Администрирование баз
данных
Электротехника
Расчетное задание
Курс физики кинематика Задачи
Экспертный анализ
Управление процессом
Учебник по экспертному анализу
Исследования
Представление знаний
Символические вычисления
Ассоциативные сети
Системы, основанные на знаниях
Логическое и объектно-ориентированное программирование
извлечение и приобретение знаний
эвристическая классификация
Иерархические построения
Конструирование
Формирование поясняющей информации
Системы с доской объявления
Стандарт V.34
Отслеживания зависимостей
Машинное обучение
Пространство гипотез
Методы, основанные на пояснениях
Разработка и использование инструментальных средств

 

Непрерывность функций и точки разрыва

Математический анализ Лекции, конспекты, примеры решения задач

  • Элементы векторной алгебры
    • Определение
      •  Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.    
      • Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.  
      • Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.  
      • Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.  Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.  
      • Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.   Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.  

Теория и задачи на вычисления пределов

  • Сравнение бесконечно малых Пусть фиксирована некоторая база $ \mathcal{B}$ и на некотором её окончании $ E$ заданы две функции $ {\varphi}(x)$ и $ \psi(x)$, бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$. Предположим также, что $ \psi(x)\ne0$ при всех $ x\in E$. Пусть существует $\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}=L.$
    • Пусть требуется вычислить ранг матрицы $ A$ размеров $ m\times n$ . Если матрица $ A$ нулевая, то по определению $ {{\rm Rg}A=0}$ . В противном случае с помощью перестановки строк и столбцов матрицы добиваемся того, чтобы в левом верхнем углу матрицы стоял ненулевой элемент. Итак, считаем, что $ {a_{11}\ne0}$ .
    • Первую строку оставляем без изменений. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $ \left(-\dfrac{a_{21}}{a_{11}}\right)$ . В результате вторая строка принимает вид $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}0&a_{22}^{(1)}&\dots&a_{2n}^{(1)}\end{array}\right).$
  • Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами
    • Вернемся к задаче, поставленной в начале главы: можно ли в поле комплексных чисел решить любое квадратное уравнение (пока только с вещественными коэффициентами)? Для квадратного уравнения $ {x^2+1=0}$ мы одно решение знаем: $ {x_1=i}$ . Очевидно, что $ {(-i)^2=i^2=-1}$ , поэтому $ {x_2=-i}$ . Следовательно, оба корня такого уравнения известны.
  • Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа
    • Пусть $ {z=a+bi}$ . Положим $ {r=\vert z\vert}$ , $ {{\varphi}=\arg z}$ . Из рисунка 17.4 очевидно, что
    • $\displaystyle a=r\cos{\varphi},\quad b=r\sin {\varphi}.$
    • Тогда $ {z=r\cos{\varphi}+(r\sin{\varphi})i}$ . Это выражение запишем в виде $\displaystyle z=r(\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}).$
    • Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виде $ {a+bi}$ называют иногда алгебраической формой комплексного числа.
    • Примеры
  • Извлечение корня из комплексного числа
    • Заголовок этого раздела является не совсем точным. Дело в том, что корень из ненулевого комплексного числа однозначно определить нельзя. Он всегда имеет столько значений, какова его степень. Поэтому в данном разделе мы будем говорить о решении уравнения $\displaystyle z^n=w,$ где неизвестным служит $ z$ , а $ w$  -- известное комплексное число. Но поскольку в школе решение этого уравнения записывалось в виде $ {z=\sqrt[n] w}$ , то, не слишком соблюдая математическую строгость, можно говорить, что мы будем извлекать корень $ n$ -ой степени из комплексного числа $ w$
    • Найдите корни уравнения $ {z^4=-1}$ .
  • Корни многочленов
  • Примеры

Возрастание и убывание функции Метод Ньютона (метод касательных)

  • Асимптоты графика функции
  • Возрастание и убывание функции
  • Экстремум функции и необходимое условие экстремума Напомним определение локального экстремума функции.
  •         Определение 7.4   Пусть функция $ f(x)$ определена в некоторой окрестности $ {E=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})}$, $ {{\delta}>0}$, некоторой точки $ x_0$ своей области определения. Точка $ x_0$ называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности $ E$ выполняется неравенство $ f(x)\leqslant f(x_0)$ ($ \forall x\in E$), и точкой локального минимума, если $ f(x)\geqslant f(x_0)$ $ \forall x\in E$.     
  • Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.
  • Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка $ x_0$ была точкой локального экстремума функции $ f(x)$.
  • Достаточные условия локального экстремума
  • Выпуклость функции
  •        Определение 7.5   Функция $ f(x)$ называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если график функции $ y=f(x)$ идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$ при $ x_0,x_1\in(a;b)$.
    Пусть $ x_0<x_1$. Тогда любую точку отрезка $ [x_0;x_1]$ можно задать как $ {x_{{\alpha}}={\alpha}x_1+(1-{\alpha})x_0}$, $ {\alpha}\in[0;1]$, а любую точку хорды -- как $ {(x_{{\alpha}};{\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))}$. Выражение $ {\ell(x_{{\alpha}})={\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))}$ задаёт линейную функцию переменного $ {x=x_{{\alpha}}}$, график которой на отрезке $ {[x_0;x_1]}$ совпадает с хордой.
  • Пусть дана функция $ f(x)$. Для её исследования нужно:
  • 1). Найти её область определения $ \mathcal{D}(f)$. Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений $ \mathcal{E}(f)$. (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения $ \mathcal{E}(f)$ откладывается до нахождения экстремумов функции.)
  • 2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси $ Ox$), не является ли она периодической.
  • 3). Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента $ x$ к граничным точкам области определения $ \mathcal{D}(f)$, если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции.
  • Примеры исследования функций и построения графиков
    • Пример  Исследуем функцию $ f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$ и построим её график.
    • Пример   Исследуем функцию $ f(x)=\dfrac{x^2+x}{x^2-3x+2}$ и построим её график.
    • Пример   Исследуем функцию $ f(x)=(x^2-2x)e^x$ и построим её график.
  • Упражнения и задачи
    • Упражнение Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графиков функций: $ f(x)=\dfrac{1-x^3}{x^2+x}$;
    • Упражнение   Найдите стационарные точки функции $\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+3$

Приближённое нахождение корней уравнений

  • Отделение корней Во многих приближённых методах нахождения корня уравнения $ f(x)=0$ заранее требуется знать какой-либо отрезок $ [a;b]$, на котором лежит искомый корень $ x^*$, и притом только один этот корень (то есть предъявляемый отрезок не должен содержать других корней уравнения $ f(x)=0$). В этом случае говорят, что корень $ x^*$ отделён на отрезке $ [a;b]$. Отделить корень -- значит указать такой отрезок, на котором корень отделён. Заметим, что отделить корень можно не единственным образом: если корень отделён на каком-либо отрезке, то годится и любой меньший отрезок, содержащий этот корень. Вообще говоря, чем меньше отрезок, тем лучше, но при этом не следует забывать о том, что на отделение корня на меньших отрезках также тратятся вычислительные усилия, и, быть может, весьма значительные. Таким образом, часто для начала довольствуются весьма широким отрезком, на котором корень отделён.
  • Пример
  • Метод простого перебора
  • Метод половинного деления
  • Метод простых итераций
  • Метод секущих
  • В качестве функции $ {\lambda}(x)$ берут любую постоянную $ {\lambda}_0$, знак которой совпадает со знаком производной $ f'(x)$ в окрестности $ E$ (и, в частности, на отрезке, соединяющем $ x_0$ и $ x^*$). Постоянная $ {\lambda}_0$ не зависит также и от номера шага $ i$. Тогда формула итераций оказывается очень проста:
  • $\displaystyle x_{i+1}=x_i-{\lambda}_0f(x_i),$
  • и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции $ f(x)$.
  • Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков $ f'$ и $ {\lambda}_0$. Рассмотрим прямую, проходящую через точку $ (x_i;f(x_0))$ на графике $ y=f(x)$ с угловым коэффициентом $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=\dfrac{1}{{\lambda}_0}$. Тогда уравнением этой прямой будет $\displaystyle y=f(x_i)+\dfrac{1}{{\lambda}_0}(x-x_i).$
  • Пример   Решим методом Ньютона всё то же уравнение $ x^3+2x^2+3x+5=0$,
 
Математический анализ Типовые расчеты по математике