Высшая математика для студентов технических университетов

Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказ
пример вторичной сети Набор порождающих правил Учебник Microsoft Office Дозиметрия Математика Задачи Экспертный анализ Access Базы данных аксонометрические проекции Администрирование трафик

Диплом, курсовые, контрольные на заказ
Вычислить двойной интеграл
Практические занятия по информатике
Неопределенный интеграл
Математика
	Контрольные курсовые
	Ядерный арктический полигон
	Примеры
	Юридические дисциплины
	Преобразование речи в цифровую форму
	Задачи Электромагнетизм
Теория Демпстера—Шефера
Базы данных Access
Цветовая палитра
Плоскость на чертеже
Арифметические основы ЭВМ
Доступ к корпоративным базам данных
Администрирование баз данных
Каталог работ по гуманитарным дисциплинам
Геополитика БЖ Риторика Религия и мифология Краеведение Литература зарубежная Литература русская Логика Книговедение Искусство и культура История История государства и права Культурология Идеология Политология Психология Педагогика Псевдопеременные C++Builder Социология Стилистика Физкультура и спорт Филология Философия Фонетика Теория государства и права Этика Этикет Журналистика
Экспертный анализ
	Управление процессом
	Учебник по экспертному анализу
	Исследования
	Представление знаний
	Символические вычисления
	Ассоциативные сети
	Системы, основанные на знаниях
	Логическое и объектно-ориентированное программирование
	извлечение и приобретение знаний
	эвристическая классификация
	Иерархические построения
	Конструирование
	Формирование дизайна
	Формирование поясняющей информации
	Системы с доской объявления
	Стандарт V.34
	Отслеживания зависимостей
	Машинное обучение
	Пространство гипотез
	Методы, основанные на пояснениях
Табличные интегралы
Курсовые, контрольные на заказ по математике
	Разработка и использование инструментальных средств

Непрерывность функций и точки разрыва

Определение непрерывности функции

Примеры, упражнения Закон Ампеpа. Работа над контуpом с током.

Определение точек разрыва
- Пример Рассмотрим функцию $f(x)=\dfrac{\vert x^2-x\vert}{x^2-x}$ ,
- Пример Функция $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ имеет при разрыв второго рода, так как $f(x)\to+\infty$ при $x\to0+$ и
- Пример Рассмотрим функцию , заданную равенством
  - пример a
  - пример b
  - пример c Типовые задачи Примеры решения задач математика
  - пример d
  - пример e Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Интегрирование тригонометрических выражений С тригонометрическими интегралами мы уже встречались ранее. Их особенностью, пожалуй, можно считать обилие тригонометрических формул, позволяющих преобразовывать подынтегральное выражение, что часто позволяет его упростить. Способов такого преобразования, как и способов замены переменной в тригонометрическом интеграле обычно много, но для некоторых типов интегралов известны стандартные действия, приводящие к ответу наиболее коротким путем. Их описанию и посвящен рассматриваемый параграф лекций. На наш взгляд, приведенный там материал достаточно прост и показателен, сделаем только два
    - пример
      - Если множество $A=\mathcal{D}(f)$ бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция $f:x\mapsto y$ может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента найти соответствующее ему значение
- пример a
- пример b
- Обзор некоторых элементарных функций
  - Линейная функция
  - Квадратичная функция
- Композиция функций
- Обратная функция
  - Примеры и упражнения
- Упражнения
Свойства функций, непрерывных в точке
Непрерывность функции на интервале и на отрезке
- Определение
- Пример Рассмотрим функцию $f(x)=\cos x-x$ на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$ .
- Теорема об ограниченности непрерывной функции
- Теорема о достижении экстремума непрерывной функцией
Равномерная непрерывность
- Примеры, упражнения
Непрерывность обратной функции
Гиперболические функции и ареа-функции

Примеры, упражнения

Примеры и упражнения
Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи
Пример
Пример Искусство древней Передней Азии Территория Передней Азии включает в себя очень разные природные зоны: Междуречье — долину рек Евфрата и Тифа, которую греки называли Месопотамией, полуостров Малая Азия и примыкающие к нему горные районы, восточное побережье Средиземного моря, Иранское и Армянское нагорья. Народы, населявшие в древности этот обширный регион, одними из первых в мире основали города и государства, изобрели колесо, монеты и письменность, создали замечательные произведения искусства.
Общее определение предела

Пример Функции и их графики
Замена переменного и преобразование базы при такой замене
Пример
Пример
Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства
Пример
Пример
Пример
Общие свойства пределов
Замечание
примеры
примеры
Упражнение
Следствие

Пример
Теорема
Упражнение
Бесконечно большие величины и бесконечные пределы
Пример
Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Определения
Примеры
Сравнение бесконечно малых
Пример
Пример
Примеры
Таблица эквивалентных бесконечно малых
Пример
Упражнения на вычисление пределов

Упражнение

Математический анализ Лекции, конспекты, примеры решения задач

Элементы векторной алгебры
- Определение
  - Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.
  - Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.
  - Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
  - Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.
  - Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули. Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Теория и задачи на вычисления пределов

Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи
- Пример Пусть и рассматривается функция $f(x)=2\sin x+1$ . Покажем, что $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1.$
- Пример Покажем, что предел последовательности $y_n=\dfrac{1}{n^2}$ равен 0.

Пример

Замена переменного и преобразование базы при такой замене Часто при вычислении какого-либо предела естественно для упрощения выражения, от которого берётся предел, сделать некоторую замену переменного. Пусть, например, требуется вычислить Тогда естественно с целью упрощения сделать замену $s=\sin x$ : при этом функция, от которой берётся предел, упростится и будет иметь вид $f(s)=\dfrac{s^2+2s+1}{s^2-s+2}$ . Однако при этом нужно знать, как изменится база предела: что мы должны написать вместо $x\to-\frac{\pi}{2}$ под знаком предела от функции ?
- Пример
- Пример
Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Пример
Теорема
Упражнение

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы
Определение 2.13 Пусть функция определена на некотором окончании базы $\mathcal{B}$ и имеет следующее свойство:
для любого, как угодно большого, положительного числа можно найти такое окончание базы $\mathcal{B}$ , что при любом $x\in E_N$ будет выполнено неравенство $\displaystyle \vert f(x)\vert>N.$
- Пример
Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Определения
Примеры

Сравнение бесконечно малых Пусть фиксирована некоторая база $\mathcal{B}$ и на некотором её окончании заданы две функции ${\varphi}(x)$ и $\psi(x)$ , бесконечно малые при базе $\mathcal{B}$ . Предположим также, что $\psi(x)\ne0$ при всех $x\in E$ . Пусть существует $\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}=L.$

Пример
Пример
Примеры

Сложение матриц и умножение на число
Символ суммирования
Замечание
Умножение матриц
Пример Даны матрицы $A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 3&4&0\\ -1&2&-2\end{array}\right)$ , $B=\left(\begin{array}{rr} 3&-2\\ 1&0\\ 4&-3\end{array}\right)$ . Найдите произведения и .
Замечание
Докажем дистрибутивность умножения
Транспонирование матрицы
Определители
Предложение При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть ${\vert A^\top\vert=\vert A\vert}$ .
Предложение Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.
Пример
Алгоритм создания нулей в столбце
Пусть требуется вычислить определитель матрицы порядка . Если ${a_{11}=0}$ , то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. В результате определитель , будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрица имеет нулевой столбец и по предложениям 14.11, 14.18 ее определитель равен нулю.
Итак, считаем, что уже в исходной матрице ${a_{11}\ne0}$ . Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число $\left(-\dfrac{a_{21}}{a_{11}}\right)$ . Тогда первый элемент второй строки будет равен

$\displaystyle a_{21}^{(1)}=a_{21}+a_{11}\left(-\frac{a_{21}}{a_{11}}\right)=0.$
Остальные элементы новой второй строки обозначим $a_{2k}^{(1)}$ , ${k=2,3,\ldots,n}$ . Определитель новой матрицы по предложению 14.14 равен $\vert A\vert$ .
Первую строку умножим на число $\left(-\dfrac{a_{31}}{a_{11}}\right)$ и прибавим к третьей. Первый элемент новой третьей строки будет равен $\displaystyle a_{31}^{(1)}=a_{31}+a_{11}\left(-\frac{a_{31}}{a_{11}}\right)=0.$

Пример Найдите обратную матрицу для матрицы ${A=\left(\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\end{array}\right)}$ .
Ранг матрицы
Пример Матрица примера 14.9 имеет ранг 3, так как есть минор третьего порядка, отличный от нуля, а миноров четвертого порядка нет.
Алгоритм нахождения ранга матрицы

Пусть требуется вычислить ранг матрицы размеров $m\times n$ . Если матрица нулевая, то по определению ${{\rm Rg}A=0}$ . В противном случае с помощью перестановки строк и столбцов матрицы добиваемся того, чтобы в левом верхнем углу матрицы стоял ненулевой элемент. Итак, считаем, что ${a_{11}\ne0}$ .
Первую строку оставляем без изменений. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $\left(-\dfrac{a_{21}}{a_{11}}\right)$ . В результате вторая строка принимает вид $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}0&a_{22}^{(1)}&\dots&a_{2n}^{(1)}\end{array}\right).$
Теорема
Примеры

Решение квадратных уравнений с вещественными коэффициентами
- Вернемся к задаче, поставленной в начале главы: можно ли в поле комплексных чисел решить любое квадратное уравнение (пока только с вещественными коэффициентами)? Для квадратного уравнения ${x^2+1=0}$ мы одно решение знаем: ${x_1=i}$ . Очевидно, что ${(-i)^2=i^2=-1}$ , поэтому ${x_2=-i}$ . Следовательно, оба корня такого уравнения известны.
Изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа
- Модуль и аргумент
- Пусть . Положим ${r=\vert z\vert}$ , ${{\varphi}=\arg z}$ . Из рисунка 17.4 очевидно, что
- $\displaystyle a=r\cos{\varphi},\quad b=r\sin {\varphi}.$
- Тогда ${z=r\cos{\varphi}+(r\sin{\varphi})i}$ . Это выражение запишем в виде $\displaystyle z=r(\cos{\varphi}+i\sin{\varphi}).$
- Последняя запись называется тригонометрической формой комплексного числа. В отличие от нее запись числа в виде называют иногда алгебраической формой комплексного числа.
- Примеры
  - Примеры
Извлечение корня из комплексного числа
- Заголовок этого раздела является не совсем точным. Дело в том, что корень из ненулевого комплексного числа однозначно определить нельзя. Он всегда имеет столько значений, какова его степень. Поэтому в данном разделе мы будем говорить о решении уравнения $\displaystyle z^n=w,$ где неизвестным служит , а -- известное комплексное число. Но поскольку в школе решение этого уравнения записывалось в виде ${z=\sqrt[n] w}$ , то, не слишком соблюдая математическую строгость, можно говорить, что мы будем извлекать корень -ой степени из комплексного числа
- Найдите корни уравнения ${z^4=-1}$ .
Корни многочленов
Примеры

Возрастание и убывание функции Метод Ньютона (метод касательных)

Асимптоты графика функции
Возрастание и убывание функции
- Примеры
Экстремум функции и необходимое условие экстремума Напомним определение локального экстремума функции.
Определение 7.4 Пусть функция определена в некоторой окрестности ${E=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})}$ , ${{\delta}>0}$ , некоторой точки своей области определения. Точка называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности выполняется неравенство $f(x)\leqslant f(x_0)$ ( $\forall x\in E$ ), и точкой локального минимума, если $f(x)\geqslant f(x_0)$ $\forall x\in E$ .
Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.
Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка была точкой локального экстремума функции .
- Примеры
Достаточные условия локального экстремума
- Примеры
Выпуклость функции
Определение 7.5 Функция называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале $(a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$ , если график функции идёт не выше хорды, соединяющей любые две точки графика и при $x_0,x_1\in(a;b)$ .
Пусть . Тогда любую точку отрезка можно задать как ${x_{{\alpha}}={\alpha}x_1+(1-{\alpha})x_0}$ , ${\alpha}\in[0;1]$ , а любую точку хорды -- как ${(x_{{\alpha}};{\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))}$ . Выражение ${\ell(x_{{\alpha}})={\alpha}f(x_1)+(1-{\alpha})f(x_0))}$ задаёт линейную функцию переменного ${x=x_{{\alpha}}}$ , график которой на отрезке ${[x_0;x_1]}$ совпадает с хордой.
Пусть дана функция . Для её исследования нужно:
1). Найти её область определения $\mathcal{D}(f)$ . Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений $\mathcal{E}(f)$ . (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения $\mathcal{E}(f)$ откладывается до нахождения экстремумов функции.)
2). Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной (быть может, после сдвига влево или вправо по оси ), не является ли она периодической.
3). Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определения $\mathcal{D}(f)$ , если такие граничные точки имеются. При этом могут обнаружиться вертикальные асимптоты. Если функция имеет такие точки разрыва, в которых она определена, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции.
- Примеры
Примеры исследования функций и построения графиков
- Пример Исследуем функцию $f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$ и построим её график.
- Пример Исследуем функцию $f(x)=\dfrac{x^2+x}{x^2-3x+2}$ и построим её график.
- Пример Исследуем функцию и построим её график.
Упражнения и задачи
- Упражнение Найдите наклонные или горизонтальные асимптоты графиков функций: $f(x)=\dfrac{1-x^3}{x^2+x}$ ;
- Упражнение Найдите стационарные точки функции $\displaystyle f(x)=x^4-2x^2+3$

Приближённое нахождение корней уравнений

Кривизна плоской кривой
- Кривизна графика функции

Вершины кривых
Примеры
Радиус кривизны
Упражнения
Отделение корней Во многих приближённых методах нахождения корня уравнения заранее требуется знать какой-либо отрезок , на котором лежит искомый корень , и притом только один этот корень (то есть предъявляемый отрезок не должен содержать других корней уравнения ). В этом случае говорят, что корень отделён на отрезке . Отделить корень -- значит указать такой отрезок, на котором корень отделён. Заметим, что отделить корень можно не единственным образом: если корень отделён на каком-либо отрезке, то годится и любой меньший отрезок, содержащий этот корень. Вообще говоря, чем меньше отрезок, тем лучше, но при этом не следует забывать о том, что на отделение корня на меньших отрезках также тратятся вычислительные усилия, и, быть может, весьма значительные. Таким образом, часто для начала довольствуются весьма широким отрезком, на котором корень отделён.
Пример
Метод простого перебора
Метод половинного деления
Пример
Метод простых итераций
Теория
Теорема
Метод секущих
В качестве функции ${\lambda}(x)$ берут любую постоянную ${\lambda}_0$ , знак которой совпадает со знаком производной в окрестности (и, в частности, на отрезке, соединяющем и ). Постоянная ${\lambda}_0$ не зависит также и от номера шага . Тогда формула итераций оказывается очень проста:
$\displaystyle x_{i+1}=x_i-{\lambda}_0f(x_i),$
и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение функции .
Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков и ${\lambda}_0$ . Рассмотрим прямую, проходящую через точку на графике с угловым коэффициентом $\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}=\dfrac{1}{{\lambda}_0}$ . Тогда уравнением этой прямой будет $\displaystyle y=f(x_i)+\dfrac{1}{{\lambda}_0}(x-x_i).$

Пример Решим методом Ньютона всё то же уравнение ,
Метод хорд (метод линейной интерполяции)
Пример Решим уравнение методом хорд.
Приближённое нахождение точки экстремума
Метод простого перебора
Метод почти половинного деления Пусть -- непрерывная функция, точку минимума которой на отрезке мы хотим найти с точностью ${\varepsilon}$ . В этом методе мы предполагаем, что $x^*\in(a;b)$ -- единственная точка локального минимума функции на отрезке . Мы будем последовательно сужать отрезок так, чтобы точка минимума всегда оставалась на выбираемой части отрезка , и продолжим процедуру до тех пор, пока длина ${\Delta}_i=b_i-a_i$ оставшейся части отрезка не станет меньше $2{\varepsilon}$ . После этого достаточно будет взять $\wt x=\dfrac{a_i+b_i}{2}$ , и очевидно, что тогда будет $\vert\wt x-x^*\vert<{\varepsilon}$ , то есть точка будет найдена с требуемой точностью.
Метод золотого сечения и метод Фибоначчи
Методы, связанные с приближённым нахождением корня производной
Пример Найдём локальные экстремумы, в том числе минимальное значение, функции .
Упражнения

коммутационные схемы Перечень команд AutoCAD ; Метод суперпозиции