Типовые расчеты по математике Производная

Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказ
пример вторичной сети Набор порождающих правил Учебник Microsoft Office Дозиметрия Математика Задачи Экспертный анализ Access Базы данных аксонометрические проекции Администрирование трафик

Диплом, курсовые, контрольные на заказ
Вычислить двойной интеграл
Практические занятия по информатике
Неопределенный интеграл
Математика
	Контрольные курсовые
	Ядерный арктический полигон
	Примеры
	Юридические дисциплины
	Преобразование речи в цифровую форму
	Задачи Электромагнетизм
Теория Демпстера—Шефера
Базы данных Access
Цветовая палитра
Плоскость на чертеже
Арифметические основы ЭВМ
Доступ к корпоративным базам данных
Администрирование баз данных
Каталог работ по гуманитарным дисциплинам
Геополитика БЖ Риторика Религия и мифология Краеведение Литература зарубежная Литература русская Логика Книговедение Искусство и культура История История государства и права Культурология Идеология Политология Психология Педагогика Псевдопеременные C++Builder Социология Стилистика Физкультура и спорт Филология Философия Фонетика Теория государства и права Этика Этикет Журналистика
Экспертный анализ
	Управление процессом
	Учебник по экспертному анализу
	Исследования
	Представление знаний
	Символические вычисления
	Ассоциативные сети
	Системы, основанные на знаниях
	Логическое и объектно-ориентированное программирование
	извлечение и приобретение знаний
	эвристическая классификация
	Иерархические построения
	Конструирование
	Формирование дизайна
	Формирование поясняющей информации
	Системы с доской объявления
	Стандарт V.34
	Отслеживания зависимостей
	Машинное обучение
	Пространство гипотез
	Методы, основанные на пояснениях
Табличные интегралы
Курсовые, контрольные на заказ по математике
	Разработка и использование инструментальных средств

Мгновенная скорость при прямолинейном движении
Число мы будем называть правой производной, или производной справа, функции в точке и обозначать или , а число -- левой производной, или производной слева, функции в точке и обозначать или . Иногда для уточнения говорят, что эти производные вычислены по переменной .
Напомним ещё раз, что механический смысл как левой, так и правой производной координаты по времени -- это мгновенная скорость движения, вычисленная в момент , но либо по интервалам времени, предшествующим , либо по интервалам, последующим . Эти две мгновенных скорости не обязаны, вообще говоря, совпадать: если тело покоилось до момента , а затем двинулось с постоянной скоростью , то мгновенная скорость, вычисленная по предшествующим интервалам, очевидно, равна (так как до момента тело покоилось), а мгновенная скорость, вычисленная по последующим интервалам времени, равна $f'_+(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\dfrac{vh}{h}=v$ (-- это изменение координаты точки, движущейся со скоростью , за промежуток времени продолжительности с момента до момента ). Эти две мгновенных скорости различны

Дифференцирование ФКП Примеры решения задач математика
Касательная к кривой на плоскости
- Определение
Производная ОДУ первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Свойства производных Искусство Старовавилонского Царства В 2003 г. до н. э, царство Шумера и Аккада прекратило своё существование, после того как в его пределы вторглось войско соседнего с ним Элама и разгромило столицу царства — город Ур. Период с XX по XVII в. до н. э. называют старовавилонским, поскольку самым важным политическим центром Междуречья в то время стал Вавилон. Его правитель Хаммурапи (1792—1750 гг. до н. э.) после жестокой борьбы вновь создал на этой территории сильное централизованное государство — Вавилонию.

Покажем, что множество функций, имеющих производную в некоторой фиксированной точке , замкнуто относительно арифметических операций с этими функциями. А именно, докажем следующую теорему, дающую основные правила дифференцирования.
Теорема 4.2 Пусть функции и имеют производные в точке . Тогда функции , , , а в случае $g(x)\ne0$ также $w_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ имеют производные в точке , которые выражаются следующими формулами:
- Замечания Закон Ампеpа. Работа над контуpом с током.
Производные некоторых элементарных функций
- Найдём производную функции $f(x)=\sqrt{x}$ в точке .
- Рассмотрим функцию $f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ как отношение $\dfrac{\sin x}{\cos x}$
- Примеры

Производная композиции
- Пусть и ${\varphi}(x)$ -- такие числовые функции, что определена их композиция $g(x)=(f\circ{\varphi})(x)=f({\varphi}(x))$ . Предположим, что функция ${\varphi}(x)$ определена в некоторой окрестности точки , а функция -- в некоторой окрестности точки $u_0={\varphi}(x_0)$ . Тогда имеет место следующее утверждение.
- Теорема 4.4 Если функция ${\varphi}(x)$ имеет производную ${\varphi}'(x_0)$ , а функция -- производную , то композиция $g(x)=f({\varphi}(x))$ имеет производную $\displaystyle g'(x_0)=f'(u_0){\varphi}'(x_0).$

Примеры
Примеры

Свойства дифференцируемых функций
Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма
Теорема Ролля
Теорема Лагранжа
Теорема Коши

Замечания
Правило Лопиталя для отношения бесконечно больших
Сравнение бесконечно больших величин

Примеры
Примеры
Математический анализ Лекции, конспекты, примеры решения задач

Системы координат
- Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Для удобства проведения вычислений часто предпочтительнее использовать системы координат, отличные от декартовой прямоугольной системы. Кроме того, наглядность представления окончательного ответа зачастую тоже сильно зависит от выбора системы координат. Ниже рассмотрим некоторые наиболее часто используемые системы координат.
Параллельный перенос системы координат Системы линейных уравнений
Кривые второго порядка

Окружность
Начнем с определения окружности, известного из школьного курса математики.

Определение Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.
Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.
Эллипс Определение Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.
Для эллипса можно дать еще несколько эквивалентных определений. Желающие могут познакомиться с ними в более серьезных учебниках по аналитической геометрии. Здесь же отметим только то, что эллипс -- это кривая, получающаяся как проекция на плоскость $\Pi$ окружности, лежащей в плоскости, которая образует острый угол с плоскостью $\Pi$ .
В отличие от окружности, записать в "удобном" виде уравнение эллипса в произвольной системе координат не удается. Поэтому для фиксированного эллипса приходится подбирать систему координат так, чтобы его уравнение было достаточно простым.
Предложение Эллипс обладает двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии, на одной из которых находятся его фокусы, и центром симметрии. Если эллипс задан каноническим уравнением (12.4), то его осями симметрии служат оси и , начало координат -- центр симметрии.
Гипербола
Парабола В школьном курсе математики достаточно подробно изучалась парабола, которая, по определению, являлась графиком квадратного трехчлена. Здесь мы дадим другое (геометрическое) определение параболы. Определение Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.
Пример Постройте параболу . Найдите ее фокус и директрису.
Параллельный перенос системы координат
Пример Нарисуйте кривую ${x^2+9y^2-4x+18y+4=0}$ и найдите ее фокусы.
Пример Постройте кривую $\displaystyle x+1+\sqrt{2-2y^2+4y}=0.$

Поверхности второго порядка

Сфера Определение Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.
Эллипсоид

Определение Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$ где , , -- положительные числа.

Сечения эллипсоида координатными плоскостями
Гиперболоиды
Определение
Конус
Параболоиды
Определение
Цилиндры
Параллельный перенос системы координат
Пример Нарисуйте поверхность .

Линейные пространства уравнения

Системы линейных уравнений

Правило Крамера

Пример Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l}2x_1-x_2+x_3=1,\\ 3x_1+x_2+5x_3=-3, \\ 5x_1+3x_3=2.\end{array}\right.$
Существование решения системы линейных уравнений общего вида
Определение Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной -- в противном случае, то есть в случае, когда решений у системы нет.
Вопрос о том, имеет ли система решение или нет, связан не только с соотношением числа уравнений и числа неизвестных. Например, система из трех уравнений с двумя неизвестными $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=1,\\ 2x_1+2x_2=2,\\ 3x_1+3x_2=3\end{array}\right.$
Теорема Кронекера-Капелли
Однородная система уравнений
Предложение Однородная система уравнений $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=0,\\ ... ...\ldots\ldots\ldots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=0\end{array}\right.$ всегда является совместной.

Структура решений неоднородной системы линейных уравнений
Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса) Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными . Требуется найти ее общее решение, если она совместна, или установить ее несовместность. Метод, который будет изложен в этом разделе, близок к методу вычисления определителя 5.1.с и к методу нахождения ранга матрицы (раздел 5.8). Предлагаемый алгоритм называется методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных.
Примеры
Найдите общее решение системы уравнений
Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений

Алгебраические структуры
- Группы
- Определение Группой называется непустое множество $\mathfrak{G}$ , на котором задана некоторая операция, обладающая следующими свойствами:
  - Пример
- Кольца
  - Пример
- Поля
Многомерные пространства
- Линейные пространства
Линейные преобразования
Определение и примеры
- Пример
- Упражнение
Матрица линейного преобразования
В примере 19.4 было показано, что преобразование -мерного пространства, заключающееся в умножении координатных столбцов векторов на фиксированную матрицу, является линейным преобразованием. В этом разделе мы покажем, что все линейные преобразования конечномерного пространства устроены таким же образом.
Пусть -- -мерное линейное пространство, в котором задан базис ${e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ , $\mathcal{A}$ -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор . Пусть ${{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора ${\mathcal{A}(x)}$ обозначим ${\beta}$ .
Запишем разложение вектора по базису пространства ${x={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n}$ .
- Пример
Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса
Собственные числа и собственные векторы
- Пример
Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц
- Пример Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr}1&-3&4\\ 4&-7&8\\ 6&-7&7\end{array}\right).$
Матрица линейного преобразования в базисе из собственных векторов

Теорема
Теорема
Пример Приведите уравнение поверхности $\displaystyle x^2+5y^2+z^2+2xy+6xz+2yz-2x+6y+2z=0$

Определение вектора Наиболее абстрактное понятие вектора будет введено в главе 16. Здесь же мы ограничимся определением, соответствующим наглядному представлению о векторе, известному из школьного курса математики.
Определение 10.1 Вектором называется направленный отрезок.
Таким образом, вектор-- это отрезок, у которого выделен один конец, называемый концом вектора. Этот конец на рисунке обозначается стрелкой. Другой конец отрезка называется началом вектора.
Операции над векторами
Разложение вектора по базису Множество векторов на прямой назовем одномерным векторным пространством, множество векторов на плоскости-- двумерным векторным пространством, в пространстве-- трехмерным векторным пространством.
Легко проверить, что если -- какое-то векторное пространство, ${\bf a},{\bf b} \in L$ , ${\alpha}$ -- число, то ${{\bf a}+{\bf b}}\in L$ и ${\alpha}{\bf a}\in L$ .
- Рассмотрим пример на нахождение координат вектора
Линейная зависимость векторов
Система координат и координаты вектора
Пусть в пространстве задана некоторая ось , то есть прямая, на которой отмечена фиксированная точка и заданы направление и единица длины. Тогда каждой точке оси соответствует некоторое число.
Определение Проекцией точки на ось называется число, соответствующее основанию перпендикуляра , опущенного на ось из точки .
Определение Проекцией вектора $\overrightarrow {AB}$ на ось называется разность проекций конца вектора и его начала.
- Проекция на ось суммы векторов равна сумме их проекций
Скалярное произведение
- Теорема
Векторное произведение
Введем еще одну операцию над векторами. Эта операция существует только в трехмерном векторном пространстве, на плоскости она не определена.
Определение Векторным произведением вектора a на вектор b назовем вектор c, удовлетворяющий условию
1) $\vert{\bf c}\vert=\vert{\bf a}\vert\vert{\bf b}\vert\sin{\varphi}$ , где ${\varphi}$ -- угол между a и b и, если $\vert{\bf c}\vert\ne0$ , то еще двум условиям:
2) вектор c ортогонален векторам a и b;
3) из конца вектора c кратчайший поворот от вектора a (первого сомножителя) к вектору b (второму сомножителю) виден против часовой стрелки. (Начала векторов предполагаются совмещенными).
- Выражение векторного произведения через координаты сомножителей
Смешанное произведение

Смешанное произведение линейно по каждому аргументу

Нахождение координат вектора в произвольном базисе

Линия и плоскость в пространстве

Теорема Всякое уравнение(11.3), в котором $\vert A\vert+\vert B\vert+\vert C\vert\ne0$ , является уравнением плоскости, ортогональной вектору ${\bf n}=(A,B,C)$ .
Изображение плоскости
- Все коэффициенты и свободный член в уравнении отличны от нуля
  - В этом случае находим точки пересечения плоскости с осями координат. Например, пусть требуется построить плоскость, заданную уравнением . Находим точку пересечеия с осью . На этой оси у любой точки вторая и третья координаты равны нулю: , . Из уравнения плоскости получаем , откуда . Получили точку .
  - На оси равны нулю первая и третья координаты: , . Значит, , то есть . Получили точку . Аналогично на оси находим точку . Рисуем треугольник с вершинами , , -- это и будет "изображение" плоскости
- Коэффициенты при неизвестных отличны от нуля, а свободный член равен нулю
- Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю
- Два коэффициента при переменных равны нулю
Угол между плоскостями
Пусть плоскости $\Pi_1$ и $\Pi_2$ заданы соответственно уравнениями и . Требуется найти угол ${\varphi}$ между этими плоскостями.
Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры и к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы ${\bf n}_1$ и ${\bf n}_2$ плоскостей $\Pi_1$ и $\Pi_2$ с началами в точке
Расстояние от точки до плоскости
Прямая на плоскости Прямая на плоскости и плоскость в пространстве обладают тем общим свойством, что дополнительная размерность равна единице. Другими словами, что все нормальные векторы к плоскости являются коллинеарными и все нормальные векторы к прямой на плоскости тоже коллинеарны. Отметим, что прямая в пространстве этим свойством не обладает. Нормальные векторы к ней, если их начала поместить в одну точку, "заполняют" целую плоскость. Так как формулы(11.1), (11.3), (11.4), (11.5), (11.6), (11.7) основывались на нормальном векторе к плоскости, то они остаются верными и для прямой на плоскости, если из них исключить третью координату. Доказательство этих формул для прямой на плоскости полностью повторяет их доказательство для плоскости в пространстве.
Прямая в пространстве
- Замечание
Основные задачи на прямую и плоскость

Пример Найдите точку пересечения прямой $\frac{x-2}2=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}3$ и плоскости .
Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между этими прямыми.
Пример Найдите точку , симметричную точке относительно прямой ${\gamma}$ :
Математический анализ Лекции, конспекты, примеры решения задач

Топологическое произведение пространств Определение. Множество E´F, превращенное в топологическое пространство только что описанным способом, называется топологическим произведением пространств E и F.
- Уравнение линии на плоскости Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.
- Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом: , (1) где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.
- Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
- Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.
- Определение. Для системы линейных уравнений вида (1) матрица А = называется матрицей системы, а матрица А^*= называется расширенной матрицей системы
- Определение. Если b₁, b₂, …,b_m = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна.

коммутационные схемы Перечень команд AutoCAD Компьютерные статьи, железо; Метод суперпозиции