Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Пример 1.22 Аналогично определяется функция арккосинус (обозначается $ \arccos$ или $ \cos^{-1}$). Это функция, обратная к ограничению функции $ \cos$ на отрезок $ [0;\pi]$ (такое ограничение называется главной ветвью косинуса):
$\displaystyle \arccos:[-1;1]\to[0;\pi],$
$\displaystyle {\varphi}=\arccos x,$ если $\displaystyle \cos{\varphi}=x$ и $\displaystyle {\varphi}\in[0;\pi].$

Рис.1.32.Главная ветвь косинуса
[an error occurred while processing this directive]

Пример 1.23 Функция арктангенс (обозначается $ \mathop{\rm arctg}\nolimits $, или $ \mathop{\rm tg}\nolimits ^{-1}$, или $ \tan^{-1}$)-- это функция, обратная к ограничению функции $ \mathop{\rm tg}\nolimits $ на интервал $ (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$, то есть обратная к главной ветви тангенса:
$\displaystyle \mathop{\rm arctg}\nolimits x=\mathop{\rm tg}\nolimits ^{-1}x,\ x\in(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}).$
Так как $ \mathop{\rm tg}\nolimits \vert _{(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})}:(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R}$-- это биекция, то обратная функция определена при всех $ x\in\mathbb{R}$:
$\displaystyle \mathop{\rm arctg}\nolimits :\mathbb{R}\to(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}),$
$\displaystyle {\varphi}=\mathop{\rm arctg}\nolimits x,$ если $\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\varphi}=x$ и $\displaystyle {\varphi}\in(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}).$

Рис.1.33.Главная ветвь тангенса

Упражнение 1.4 Дайте определение функции арккотангенс (обозначается $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $), рассмотрев главную ветвь котангенса-- ограничение функции $ \mathop{\rm ctg}\nolimits $ на интервал $ (0;\pi)$.

Упражнение 1.5 Вспомните или выведите простые соотношения, которым удовлетворяют значения функций:
а) $ \arcsin x$ и $ \arccos x$;
б) $ \mathop{\rm arctg}\nolimits x$ и $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits x$.

График обратной функции $ f^{-1}$ получается из графика исходной функции $ f$, если у каждой точки $ (a;b)$ графика $ {\Gamma}_f$ поменять местами координаты $ a$ и $ b$:

$\displaystyle {\Gamma}_{f^{-1}}=\{(b;a):(a;b)\in{\Gamma}_f\}\sbs B\times A,$

так как $ {\Gamma}_f$ состоит из таких точек $ (a;b)\in A\times B$, что $ b=f(a)$, а $ {\Gamma}_{f^{-1}}$-- из таких точек $ (b;a)\in B\times A$, что $ a=f^{-1}(b)$; но, согласно определению обратной функции, равенства $ b=f(a)$ и $ a=f^{-1}(b)$ эквивалентны.

В случае, когда $ A\sbs\mathbb{R}$, $ B\sbs\mathbb{R}$, перестановка координат $ (a;b)\mapsto(b;a)$ геометрически может быть описана как преобразование симметрии относительно прямой $ b=a$, то есть относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Рис.1.34.Симметричные точки графиков функций $ f$ и $ f^{-1}$

Значит (в случае $ A\sbs\mathbb{R}$, $ B\sbs\mathbb{R}$), графики $ {\Gamma}_f$ и $ {\Gamma}_{f^{-1}}$ симметричны относительно этой биссектрисы, если ось, по которой откладываются значения аргумента функции, каждый раз размещать горизонтально.

Рис.1.35.Графики взаимно обратных функций расположены симметрично

Пример 1.24 Согласно с последним замечанием, мы легко построим теперь графики обратных тригонометрических функций $ \arcsin,\ \arccos,\ \mathop{\rm arctg}\nolimits $ и $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $:
Рис.1.36.Графики главной ветви $ \sin$ и $ \arcsin$
Рис.1.37.Графики главной ветви $ \cos$ и $ \arccos$
Рис.1.38.Графики главной ветви $ \mathop{\rm tg}\nolimits $ и $ \mathop{\rm arctg}\nolimits $
Рис.1.39.Графики главной ветви $ \mathop{\rm ctg}\nolimits $ и $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $


Пример 3.1   Для нахождения значения определённого интеграла

$\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx$

найдём первообразную для подынтегральной функции $ f(x)=x^2$ , вычислив неопределённый интеграл:

$\displaystyle \int x^2\;dx=\frac{x^3}{3}+C.$

Поскольку нас интересует любая первообразная, то мы можем взять $ C=0$ (с тем же успехом могли взять и $ C=1$ , и $ C=-255\frac{1}{3}$ , и т.  п., но вид первообразной при $ C=0$ проще, а постоянные сласаемые всё равно взаимно уничтожатся при вычислении подстановки). Итак, берём $ F(x)=\frac{1}{3}x^3$ и вычисляем подстановку, беря в ней пределы равными пределам интегрирования:

$\displaystyle F(x)\Bigr\vert _1^3=\frac{1}{3}x^3\Bigr\vert _1^3=\frac{1}{3}\cdot3^3-\frac{1}{3}\cdot1^3= 9-\frac{1}{3}=8\frac{2}{3}.$

Получаем, что

$\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx=8\frac{2}{3}.$

    

        Пример 3.2   Найдём определённый интеграл

$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx.$

Поскольку

$\displaystyle \int\cos x\;dx=\sin x+C,$

в качестве первообразной $ F(x)$ можно взять $ \sin x$ (положив $ C=0$ ). Поэтому

 

$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx=\sin x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{3}}= \sin\frac{\pi}{3}-\sin 0=\frac{\sqrt{3}}{2}-0=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Интегрирование рациональных дробей

 В параграфе рассматривается интегрирование функций вида , где Т(х) и R(x) – многочлены от х. Если степень многочлена Т(х) больше или равна степени многочлена R(x) то делением многочлена Т(х) на многочлен R(x) выделяем целую часть – многочлен Ф(х), т.е. , где степень многочлена Q(x) меньше степени многочлена R(x). Интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

 Интегрирование правильной рациональной дроби основано на теореме о представлении этой дроби конечной суммой простейших дробей. Вид этого разложения зависит от разложения многочлена Q(x) на множители. Множителям вида (х – а)k (а – действительный корень многочлена Q(x) кратности k) соответствуют k простейших дробей:

,

где Аm – постоянные.

 Множителям вида (x2 + px + q)i l (трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней) соответствует i простейших дробей вида:

,

где B, D – постоянные.

 Если разложение многочлена Q(x) на множители имеет вид  

Где а1, …, аi -  действительные корни многочлена, соответственно кратности k1, k2 …, ki, а трехчлены x2 +p1x +q1, x2 +pj x + qj не имеют действительных корней, то разложение в сумму простейших дробей ищется в виде:

.

Здесь в (1)  - некоторые, пока неопределенные коэффициенты, способ отыскания которых будет указан ниже.

Математический анализ Типовые расчеты по математике