Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказдипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

Пример 1.22 Аналогично определяется функция арккосинус (обозначается $ \arccos$ или $ \cos^{-1}$). Это функция, обратная к ограничению функции $ \cos$ на отрезок $ [0;\pi]$ (такое ограничение называется главной ветвью косинуса):
$\displaystyle \arccos:[-1;1]\to[0;\pi],$
$\displaystyle {\varphi}=\arccos x,$ если $\displaystyle \cos{\varphi}=x$ и $\displaystyle {\varphi}\in[0;\pi].$

Рис.1.32.Главная ветвь косинуса
[an error occurred while processing this directive]

Пример 1.23 Функция арктангенс (обозначается $ \mathop{\rm arctg}\nolimits $, или $ \mathop{\rm tg}\nolimits ^{-1}$, или $ \tan^{-1}$)-- это функция, обратная к ограничению функции $ \mathop{\rm tg}\nolimits $ на интервал $ (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$, то есть обратная к главной ветви тангенса:
$\displaystyle \mathop{\rm arctg}\nolimits x=\mathop{\rm tg}\nolimits ^{-1}x,\ x\in(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}).$
Так как $ \mathop{\rm tg}\nolimits \vert _{(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})}:(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R}$-- это биекция, то обратная функция определена при всех $ x\in\mathbb{R}$:
$\displaystyle \mathop{\rm arctg}\nolimits :\mathbb{R}\to(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}),$
$\displaystyle {\varphi}=\mathop{\rm arctg}\nolimits x,$ если $\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\varphi}=x$ и $\displaystyle {\varphi}\in(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}).$

Рис.1.33.Главная ветвь тангенса

Упражнение 1.4 Дайте определение функции арккотангенс (обозначается $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $), рассмотрев главную ветвь котангенса-- ограничение функции $ \mathop{\rm ctg}\nolimits $ на интервал $ (0;\pi)$.

Упражнение 1.5 Вспомните или выведите простые соотношения, которым удовлетворяют значения функций:
а) $ \arcsin x$ и $ \arccos x$;
б) $ \mathop{\rm arctg}\nolimits x$ и $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits x$.

График обратной функции $ f^{-1}$ получается из графика исходной функции $ f$, если у каждой точки $ (a;b)$ графика $ {\Gamma}_f$ поменять местами координаты $ a$ и $ b$:

$\displaystyle {\Gamma}_{f^{-1}}=\{(b;a):(a;b)\in{\Gamma}_f\}\sbs B\times A,$

так как $ {\Gamma}_f$ состоит из таких точек $ (a;b)\in A\times B$, что $ b=f(a)$, а $ {\Gamma}_{f^{-1}}$-- из таких точек $ (b;a)\in B\times A$, что $ a=f^{-1}(b)$; но, согласно определению обратной функции, равенства $ b=f(a)$ и $ a=f^{-1}(b)$ эквивалентны.

В случае, когда $ A\sbs\mathbb{R}$, $ B\sbs\mathbb{R}$, перестановка координат $ (a;b)\mapsto(b;a)$ геометрически может быть описана как преобразование симметрии относительно прямой $ b=a$, то есть относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Рис.1.34.Симметричные точки графиков функций $ f$ и $ f^{-1}$

Значит (в случае $ A\sbs\mathbb{R}$, $ B\sbs\mathbb{R}$), графики $ {\Gamma}_f$ и $ {\Gamma}_{f^{-1}}$ симметричны относительно этой биссектрисы, если ось, по которой откладываются значения аргумента функции, каждый раз размещать горизонтально.

Рис.1.35.Графики взаимно обратных функций расположены симметрично

Пример 1.24 Согласно с последним замечанием, мы легко построим теперь графики обратных тригонометрических функций $ \arcsin,\ \arccos,\ \mathop{\rm arctg}\nolimits $ и $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $:
Рис.1.36.Графики главной ветви $ \sin$ и $ \arcsin$
Рис.1.37.Графики главной ветви $ \cos$ и $ \arccos$
Рис.1.38.Графики главной ветви $ \mathop{\rm tg}\nolimits $ и $ \mathop{\rm arctg}\nolimits $
Рис.1.39.Графики главной ветви $ \mathop{\rm ctg}\nolimits $ и $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $


Пример 3.1   Для нахождения значения определённого интеграла

$\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx$

найдём первообразную для подынтегральной функции $ f(x)=x^2$ , вычислив неопределённый интеграл:

$\displaystyle \int x^2\;dx=\frac{x^3}{3}+C.$

Поскольку нас интересует любая первообразная, то мы можем взять $ C=0$ (с тем же успехом могли взять и $ C=1$ , и $ C=-255\frac{1}{3}$ , и т.  п., но вид первообразной при $ C=0$ проще, а постоянные сласаемые всё равно взаимно уничтожатся при вычислении подстановки). Итак, берём $ F(x)=\frac{1}{3}x^3$ и вычисляем подстановку, беря в ней пределы равными пределам интегрирования:

$\displaystyle F(x)\Bigr\vert _1^3=\frac{1}{3}x^3\Bigr\vert _1^3=\frac{1}{3}\cdot3^3-\frac{1}{3}\cdot1^3= 9-\frac{1}{3}=8\frac{2}{3}.$

Получаем, что

$\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx=8\frac{2}{3}.$

    

        Пример 3.2   Найдём определённый интеграл

$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx.$

Поскольку

$\displaystyle \int\cos x\;dx=\sin x+C,$

в качестве первообразной $ F(x)$ можно взять $ \sin x$ (положив $ C=0$ ). Поэтому

 

$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx=\sin x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{3}}= \sin\frac{\pi}{3}-\sin 0=\frac{\sqrt{3}}{2}-0=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Телефония Анализ и синтез речи ОДУ высших порядков. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Владимир Игоревич Арнoльд (род. 12 июня 1937, Одесса) — выдающийся российский математик.

Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета (МГУ). Ученик А. Н. Колмогорова [1]. Доктор физико-математических наук (1963). В 1965—1986 годах — профессор МГУ. Академик АН СССР (с 1990). Двойные интегралы

Иностранный член Национальной Академии наук США, Французской Академии наук, почётный член Лондонского Королевского общества и др. Закон Кулона и пpинцип супеpпозиции полей. Электpостатика лекции и конспекты по физике

Почётный доктор университетов Пьера и Мари Кюри (Париж), Варвика (Ковентри), Утрехта, Болоньи, Торонто, Complutense (Мадрид).

Президент ММО (1996). Векторная диаграмма - это способ графического задания колебательного движения в виде вектора.

В 1995—1998 гг. занимал должность вице-президента Международного математического союза, сейчас является членом его исполнительного комитета.

Председатель попечительского совета Независимого Московского университета, главный научный сотрудник Математического института имени В. А. Стеклова РАН, профессор университета Париж-Дофин.

коммутационные схемы Перечень команд AutoCAD ; Метод суперпозиции