Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


Определение 10.28 Смешанным произведением векторов a,b,c называется число $ {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .

Смешанное произведение будем обозначать abc.

Предложение 10.26 Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.

Доказательство. По определению $ {\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ . В силу свойства 8 скалярного произведения (теорема 10.2) $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}=0}$ тогда и только тогда, когда векторы a и $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогональны. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}\ne0}$ , то вектор $ {\bf b}\times {\bf c}$ ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если $ {{\bf b}\times {\bf c}=0}$ , то в силу предложения 10.19 векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.

Следующее предложение показывает геометрический смысл смешанного произведения.

Предложение 10.27 Смешанное произведение abc некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, сторонами которого служат векторы a,b,c, взятому со знаком "$ +$ ", если векторы образуют правую тройку, и со знаком "$ -$ ", если-- левую.

Доказательство. Пусть $ {\bf d}={\bf b}\times {\bf c}$ . По предложению 10.22$ \vert{\bf d}\vert$ равен площади $ S$ параллелограмма, сторонами которого служат векторы b,c (рис. 10.26, 10.27).




Рис.10.26.Правая тройка
[an error occurred while processing this directive]

Рис.10.27.Левая тройка


По свойству 7 скалярного произведения (теорема 10.2)

$\displaystyle {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})={\bf a}{\bf d}={\bf d}{\bf a}=\vert{\bf d}\vert Пр_{{\bf d}}{\bf a}.$(10.7)


Пусть $ h$ -- высота параллелепипеда (рис. 10.26, 10.27). Если a,b,c-- правая тройка векторов, то $ { Пр_{{\bf d}}{\bf a}=h}$ (рис. 10.26), если a,b,c-- левая тройка, то $ { Пр_{{\bf d}}{\bf a}=-h}$ . Так как $ {S\cdot h=V}$ -- объем параллелепипеда, то из формулы(10.7) получим $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}=V}$ в случае правой тройки и $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}=-V}$ в случае левой тройки сомножителей.

Заметим, что если тройка векторов a,b,c является правой, то тройки c,a,b и b,c,a также будут правыми, а тройки b,a,c, c,b,a и a,c,b будут левыми тройками векторов.

Так как объем параллелепипеда не зависит от того, в каком порядке перечисляются его стороны, то

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf c}{\bf a}{\bf b}={\bf b}{\bf c}{\bf a}=-{\bf b}{\bf a}{\bf c}=-{\bf c}{\bf b}{\bf a}=-{\bf a}{\bf c}{\bf b}.$(10.8)

 

Определённый интеграл при произвольном соотношении между нижним и верхним пределами

До сих пор мы ограничивались случаями, когда в интеграле $ \int_a^bf(x)\;dx$ либо $ a<b$ , либо $ a=b$ (в последнем случае считали, что интеграл равен 0). Распространим теперь определение на случай произвольных $ a$ и $ b$ , то есть рассмотрим и случай, когда $ b<a$ . При этом положим

 

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=-\int_b^af(x)\;dx.$

Интеграл, стоящий в правой части этого равенства, берётся по отрезку $ [b;a]$ , поскольку $ b<a$ , и поэтому имеет смысл предела интегральных сумм и, в случае непрерывной функции $ f(x)$ , может быть вычислен по формуле Ньютона - Лейбница:

$\displaystyle \int_b^af(x)\;dx=F(a)-F(b).$

Но тогда получаем, что

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=-\int_b^af(x)\;dx=-(F(a)-F(b))=F(b)-F(a),$

то есть формула Ньютона - Лейбница сохраняет силу и в случае, когда $ b<a$ . (Заметим, что при $ b=a$ она также верна, поскольку и тогда и $ \int_a^af(x)\;dx$ , и разность $ F(a)-F(a)$ равны 0.)

        Упражнение 3.1   Проверьте, что формулы, выражающие линейность интеграла:

$\displaystyle \int_a^b(C_1f(x)+C_2g(x))dx=C_1\int_a^bf(x)\;dx+C_2\int_a^bg(x)\;dx$

и его аддитивность:

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=\int_a^cf(x)\;dx+\int_c^bf(x)\;dx,$

сохраняются и в случае произвольного расположения точек $ a,b$ и $ c$ . При этом нужно, разумеется, предполагать интегрируемость функций $ f$ и $ g$ на отрезке, включающем в себя все используемые в формуле точки $ a,b$ и $ c$ .

Пусть, например, требуется проверить формулу аддитивности при $ c<a<b$ . Тогда, по теореме об аддитивности определённого интеграла, имеем:

$\displaystyle \int_c^af(x)\;dx+\int_a^bf(x)\;dx=\int_c^bf(x)\;dx.$

Отсюда

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx= \int_c^bf(x)\;dx-\int_c^af(x)\;dx= \int_a^cf(x)\;dx+\int_c^bf(x)\;dx,$

поскольку, по определению,

 

$\displaystyle \int_a^cf(x)\;dx=-\int_c^af(x)\;dx.$

Таким образом, формула аддитивности сохраняется при указанном расположении точек $ a,b,c$ .

Интегрирование рациональных дробей

 В параграфе рассматривается интегрирование функций вида , где Т(х) и R(x) – многочлены от х. Если степень многочлена Т(х) больше или равна степени многочлена R(x) то делением многочлена Т(х) на многочлен R(x) выделяем целую часть – многочлен Ф(х), т.е. , где степень многочлена Q(x) меньше степени многочлена R(x). Интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

 Интегрирование правильной рациональной дроби основано на теореме о представлении этой дроби конечной суммой простейших дробей. Вид этого разложения зависит от разложения многочлена Q(x) на множители. Множителям вида (х – а)k (а – действительный корень многочлена Q(x) кратности k) соответствуют k простейших дробей:

,

где Аm – постоянные.

 Множителям вида (x2 + px + q)i l (трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней) соответствует i простейших дробей вида:

,

где B, D – постоянные.

 Если разложение многочлена Q(x) на множители имеет вид  

Где а1, …, аi -  действительные корни многочлена, соответственно кратности k1, k2 …, ki, а трехчлены x2 +p1x +q1, x2 +pj x + qj не имеют действительных корней, то разложение в сумму простейших дробей ищется в виде:

.

Здесь в (1)  - некоторые, пока неопределенные коэффициенты, способ отыскания которых будет указан ниже.

Математический анализ Типовые расчеты по математике