Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Предложение 10.28 Смешанное произведение линейно по каждому аргументу.

Линейность операции по какому-то аргументу означает выполнение двух условий:

1) если аргумент умножить на число, то и результат умножится на это число, то есть числовой множитель аргумента можно вынести за знак операции;

2) если аргумент заменить суммой двух слагаемых, то результат будет равен сумме результатов для каждого слагаемого.

Со свойством линейности мы уже встречались при изучении скалярного произведения векторов (свойства 2,3 теорема 10.2), векторного произведения (предложения 10.20,10.21), в математическом анализе свойством линейности обладают операции нахождения предела, дифференцирования, интегрирования.

В частности, утверждение, что смешанное произведение линейно по второму аргументу, означает:

1) $ {\bf a}({\lambda}{\bf b}){\bf c}={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c})$ ;

2) $ {\bf a}({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}={\bf a}{\bf b}_1{\bf c}+{\bf a}{\bf b}_2{\bf c}$ .

Доказательство предложения 10.28. Соотношения $ ({\lambda}{\bf a}){\bf b}{\bf c}={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c})$ и $ {({\bf a}_1+{\bf a}_2){\bf b}{\bf c}= {\bf a}_1{\bf b}{\bf c}+{\bf a}_2{\bf b}{\bf c}}$ следуют из того, что abc является скалярным произведением a на $ {\bf b}\times {\bf c}$ и из линейности скалярного произведения (свойства 2,3, теорема 10.2).

Для второго аргумента: в силу равенства(10.8) выполнено $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf b}{\bf c}{\bf a}}$ , поэтому

$\displaystyle {\bf a}({\lambda}{\bf b}){\bf c}=({\lambda}{\bf b}){\bf c}{\bf a}={\lambda}({\bf b}{\bf c}{\bf a})={\lambda}({\bf a}{\bf b}{\bf c}),$

$\displaystyle {\bf a}({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}=({\bf b}_1+{\bf b}_2){\bf c}{... ...f a}+{\bf b}_2{\bf c}{\bf a}= {\bf a}{\bf b}_1{\bf c}+{\bf a}{\bf b}_2{\bf c}.$

Для третьего аргумента свойство линейности доказывается аналогично.

Теперь подготовлен аппарат для доказательства предложения 10.21.

Доказательство предложения 10.21. Выберем в пространстве правый ортонормированный базис i,j,k. Пусть $ {{\bf d}={\bf a}\times ({\bf b}+{\bf c})}$ , $ {{\bf d}=({\alpha};{\beta};{\gamma})}$ , $ {{\bf d}_1={\bf a}\times {\bf b}}$ , $ {{\bf d}_1=({\alpha}_1;{\beta}_1;{\gamma}_1)}$ , $ {{\bf d}_2={\bf a}\times {\bf c}}$ , $ {{\bf d}_2=({\alpha}_2;{\beta}_2;{\gamma}_2)}$ . Нам нужно доказать, что $ {{\bf d}={\bf d}_1+{\bf d}_2}$ , то есть что выполняются равенства: $ {{\alpha}={\alpha}_1+{\alpha}_2}$ , $ {{\beta}={\beta}_1+{\beta}_2}$ , $ {{\gamma}={\gamma}_1+{\gamma}_2}$ .

В силу предложения 10.16

$\displaystyle {\alpha}= Пр_{\bf i}{\bf d}=\frac {{\bf i}{\bf d}}{\vert{\bf i}\v... ... d}={\bf i}({\bf a}\times ({\bf b}+{\bf c}))= {\bf i}{\bf a}({\bf b}+{\bf c}).$

По свойству линейности смешанного произведения

$\displaystyle {\alpha}={\bf i}{\bf a}{\bf b}+{\bf i}{\bf a}{\bf c}= {\bf i}{\bf d}_1+{\bf i}{\bf d}_2={\alpha}_1+{\alpha}_2.$

Аналогично доказываются равенства $ {\beta}={\beta}_1+{\beta}_2$ , $ {\gamma}={\gamma}_1+{\gamma}_2$ .

Предложение 10.29 Объем треугольной пирамиды, ребрами которой служат векторыa,b,c, равен $ \frac 16\vert{\bf a}{\bf b}{\bf c}\vert$ .

Доказательство. Построим параллелепипед, три ребра которого совпадают с тремя ребрами пирамиды, выходящими из одной точки (рис. 10.28).




Рис.10.28.Объем пирамиды


Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $ {V=S_{ABDC}\cdot h}$ , а объем пирамиды-- $ {V_{пир}=\frac 13 S_{\triangle ABC}\cdot h}$ . Так как $ {S_{\triangle ABC}=\frac 12 S_{ABDC}}$ , то $ {V_{пир}=\frac 16 V}$ .

По предложению 10.27 получим, что $ V=\vert{\bf a}{\bf b}{\bf c}\vert$ , а $ {V_{пир}=\frac 16 \vert{\bf a}{\bf b}{\bf c}\vert}$ .

Получим формулу для нахождения смешанного произведения по координатам сомножителей.

Предложение 10.30 Пусть в правом ортонормированном базисеi,j,kзаданы векторы $ {{\bf a}=({\alpha}_1;{\alpha}_2;{\alpha}_3)}$ , $ {{\bf b}=({\beta}_1;{\beta}_2;{\beta}_3)}$ , $ {{\bf c}=({\gamma}_1;{\gamma}_2;{\gamma}_3)}$ . Тогда
$\displaystyle {\bf a}{\bf b}{\bf c}=\left\vert\begin{array}{ccc} {\alpha}_1&{\a... ...&{\beta}_2&{\beta}_3\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2&{\gamma}_3 \end{array}\right\vert.$(10.9)

Доказательство. По предложению 10.25 находим координаты вектора $ {\bf b}\times {\bf c}$ :

$\displaystyle {\bf b}\times {\bf c}=\left(\left\vert\begin{array}{cc} {\beta}_2... ...}{cc} {\beta}_1&{\beta}_2\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2\end{array}\right\vert\right).$

По теореме 10.3 находим скалярное произведение вектора a на вектор $ {\bf b}\times {\bf c}$ :

$\displaystyle {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})={\alpha}_1 \left\vert\begin{... ...n{array}{cc} {\beta}_1&{\beta}_2\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2\end{array}\right\vert.$

Правая часть этого равенства совпадает с определением определителя $ \left\vert\begin{array}{ccc} {\alpha}_1&{\alpha}_2&{\alpha}_3\\ {\beta}_1&{\beta}_2&{\beta}_3\\ {\gamma}_1&{\gamma}_2&{\gamma}_3 \end{array}\right\vert$ . По определению $ {{\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})}$ , формула(10.9) доказана.

Предложения 10.26 и10.30 позволяют устанавливать, компланарны ли три вектора, заданные своими координатами или, другими словами, является ли система из трех векторов линейно зависимой (предложение 10.10), или образуют ли базис эти три вектора.

Пример 10.3 Является ли система векторов $ {\bf a}=(1;1;-2)$ , $ {\bf b}=(4;-1;3)$ , $ {{\bf c}=(6;1;-1)}$ линейно зависимой?
Находим
$\displaystyle {\bf a}{\bf b}{\bf c}=\left\vert\begin{array}{rrr} 1&1&-2\\ 4&-1&... ...}\right\vert- 2\left\vert\begin{array}{rr} 4&-1\\ 6&1\end{array}\right\vert=0.$
По предложению 10.26 векторы a,b,c компланарны и по предложению 10.10 линейно зависимы.

 

 

Формула замены переменного в определённом интеграле.

        Теорема 3.14   Пусть функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a';b']$ , а функция $ {\varphi}(t)$ имеет непрерывную производную $ {\varphi}'(t)$ на отрезке $ [{\alpha};{\beta}]$ , причём все значения $ x={\varphi}(t)$ при $ t\in[{\alpha};{\beta}]$ принадлежат отрезку $ [a';b']$ , в том числе $ {\varphi}({\alpha})=a$ и $ {\varphi}({\beta})=b$ . Тогда имеет место равенство

$\displaystyle \int_{{\alpha}}^{{\beta}}f({\varphi}(t)){\varphi}'(t)\;dt=\int_a^bf(x)\;dx.$

        Доказательство.     Пусть $ F(x)$  -- некоторая первообразная для $ f(x)$ , так что

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=F(b)-F(a),$

и $ G(t)$  -- некоторая первообразная для $ f({\varphi}(t)){\varphi}'(t)$ , так что

$\displaystyle \int_{{\alpha}}^{{\beta}}f({\varphi}(t)){\varphi}'(t)\;dt=G({\beta})-G({\alpha}).$

Поскольку по теореме о замене переменного в неопределённом интеграле имеет место формула

$\displaystyle \int f({\varphi}(t)){\varphi}'(t)\;dt=\int f(x)\;dx\Bigr\vert _{x={\varphi}(t)},$

то есть

$\displaystyle G(t)=F({\varphi}(t))+C,$

где $ C=\mathrm{const}$ , то при $ t={\beta}$ и $ t={\alpha}$ имеем $ G({\beta})=F({\varphi}({\beta}))+C$ и $ G({\alpha})=F({\varphi}({\alpha}))+C$ , откуда

$\displaystyle G({\beta})-G({\alpha})=F({\varphi}({\beta}))-F({\varphi}({\alpha})).$

Учитывая, что $ {\varphi}({\beta})=b$ и $ {\varphi}({\alpha})=a$ , получаем

$\displaystyle G({\beta})-G({\alpha})=F(b)-F(a),$

а это и есть доказываемая формула замены переменного.     

Интегрирование рациональных дробей

 В параграфе рассматривается интегрирование функций вида , где Т(х) и R(x) – многочлены от х. Если степень многочлена Т(х) больше или равна степени многочлена R(x) то делением многочлена Т(х) на многочлен R(x) выделяем целую часть – многочлен Ф(х), т.е. , где степень многочлена Q(x) меньше степени многочлена R(x). Интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

 Интегрирование правильной рациональной дроби основано на теореме о представлении этой дроби конечной суммой простейших дробей. Вид этого разложения зависит от разложения многочлена Q(x) на множители. Множителям вида (х – а)k (а – действительный корень многочлена Q(x) кратности k) соответствуют k простейших дробей:

,

где Аm – постоянные.

 Множителям вида (x2 + px + q)i l (трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней) соответствует i простейших дробей вида:

,

где B, D – постоянные.

 Если разложение многочлена Q(x) на множители имеет вид  

Где а1, …, аi -  действительные корни многочлена, соответственно кратности k1, k2 …, ki, а трехчлены x2 +p1x +q1, x2 +pj x + qj не имеют действительных корней, то разложение в сумму простейших дробей ищется в виде:

.

Здесь в (1)  - некоторые, пока неопределенные коэффициенты, способ отыскания которых будет указан ниже.

Математический анализ Типовые расчеты по математике