Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказдипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

Пусть задана некоторая меняющаяся величина $ y$, зависящая от переменного $ x$. Предположим, что это переменное $ x$ можно менять так, что выполняется некоторое условие $ \mathcal{B}$: переменное "приближается" ("стремится") к чему-нибудь (что это означает, мы уточним позже при помощи строгих определений). Тогда встаёт вопрос о том, не ведёт ли себя величина $ y$ каким-либо "правильным" образом, тоже "стремясь" к чему-нибудь, например, к числу $ L$. Если это так, то это "что-то" называется пределом величины $ y$ при данном условии $ \mathcal{B}$ для $ x$ и обозначается

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}y.$

Дадим теперь строгие определения предела в некоторых частных случаях, а потом перейдём к обсуждению общего определения.

Определение 2.1 Предел функции при $ x\rightarrow x_0$.
[an error occurred while processing this directive]
Пусть $ y=f(x)$-- это функция вещественного переменного $ x$, определённая во всех точках интервала $ (a;b)$, кроме, быть может, точки $ x_0\in(a;b)$. Дадим определение предела величины $ y$ при условии, что $ x$ стремится к точке $ x_0$. Это условие кратко обозначается $ x\rightarrow x_0$. Стремление $ x$ к $ x_0$ означает, что при своём изменении $ x$ оказывается во всё более узких окрестностях, окружающих точку $ x_0$, но не совпадает с $ x_0$, то есть значение $ \vert x-x_0\vert$ становится всё меньше и меньше, приближаясь к 0, но нулём не становится. При этом может оказаться, что соответствующие $ x$ значения $ y=f(x)$ становятся всё ближе и ближе к некоторому фиксированному числу $ y_0$, причём для любой, сколь угодно малой, окрестности числа $ y_0$ можно указать, насколько близко $ x$ должен подойти к $ x_0$, чтобы значения $ y=f(x)$ уже попадали в эту окрестность числа $ y_0$. Тогда число $ y_0$ есть предел функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow x_0$, что записывается так:
$\displaystyle y_0=\lim_{x\rightarrow x_0}f(x).$

Рис.2.1.Предел при $ x\to x_0$


Формализуем сказанное для придания большей математической ясности. Любая окрестность точки $ y_0$ (симметричная относительно $ y_0$) характеризуется её полушириной $ {\varepsilon}>0$, то есть имеет вид интервала $ (y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})$. Если значение $ y$ попало в такую $ {\varepsilon}$-окрестность, то это означает, что $ \vert y-y_0\vert<{\varepsilon}$. Любая окрестность точки $ x_0$, не содержащая самой точки $ x_0$ (и симметричная относительно $ x_0$),-- это объединение двух смежных интервалов $ {(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})=(x_0-{\delta};x_0+{\delta})\diagdown \{x_0\}}$. Попадание точки $ x$ в эту окрестность означает, что выполнено неравенство $ \vert x-x_0\vert<{\delta}$ и $ x\ne x_0$. Равенство $ y_0=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ означает тогда, что
для любого, сколь угодно малого, числа $ {\varepsilon}>0$ можно найти такое число $ {\delta}>0$ (зависящее от $ {\varepsilon}$), что при $ \vert x-x_0\vert<{\delta},\ x\ne x_0$ будет $ \vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}$.
При этом число $ y_0$ называется пределом функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow x_0$. Тот факт, что $ \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=y_0$, записывают ещё в виде
$\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to x_0}y_0.$
Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx.$

Выгодно взять $ u=x$ и $ dv=e^{2x}dx$ , так что получаем:

$\displaystyle \int_0^1x\;e^{2x}dx= \left\vert\begin{array}{l} u=x\\ dv=e^{2... ...ht\vert= x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1 -\int_0^1\frac{1}{2}e^{2x}dx=$   
$\displaystyle =\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2}\int_0^1e^{2x}dx= \frac{e^2}{2}-\frac{1}{4}e^{2x}\Bigr\vert _0^1=$   
$\displaystyle =\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}(e^2+1).$   

При этом возникший по дороге внеинтегральный член $ x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1$ мы вычислили так:

$\displaystyle x\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\Bigr\vert _0^1= 1\cdot\frac{1}{2}e^{2\cdot1}-0\cdot\frac{1}{2}e^{2\cdot0}=\frac{e^2}{2}.$

    

Особенно ясно проявляется указанное в замечании преимущество в том случае, если формулу интегрирования по частям приходится применять несколько раз подряд.

        Пример 3.5   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx,$

применив формулу интегрирования по частям два раза подряд. Имеем:

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin x\;dx= \left\vert\begin{array}{l} ... ...rray}{l} u=x\\ dv=\cos x\;dx\\ du=dx\\ v=\sin x \end{array}\right\vert=$   
$\displaystyle =\underbrace{x\sin x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{2}}}_{{}=\frac{\pi}... ...\sin x\;dx= \frac{\pi}{2}+\cos x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-1.$   

Если бы мы сразу же не вычисляли значения подстановок во внеинтегральных членах, то нам пришлось бы несколько раз при нахождении первообразных выписывать значения этих внеинтегральных членов $ -x^2\cos x$ и $ x\sin x$ , а здесь мы сразу же заменили первую подстановку на 0, а вторую на $ \frac{\pi}{2}$ , что сэкономило некоторое место в записи и наши усилия.     

Телефония Анализ и синтез речи ОДУ высших порядков. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Владимир Игоревич Арнoльд (род. 12 июня 1937, Одесса) — выдающийся российский математик.

Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета (МГУ). Ученик А. Н. Колмогорова [1]. Доктор физико-математических наук (1963). В 1965—1986 годах — профессор МГУ. Академик АН СССР (с 1990). Двойные интегралы

Иностранный член Национальной Академии наук США, Французской Академии наук, почётный член Лондонского Королевского общества и др. Закон Кулона и пpинцип супеpпозиции полей. Электpостатика лекции и конспекты по физике

Почётный доктор университетов Пьера и Мари Кюри (Париж), Варвика (Ковентри), Утрехта, Болоньи, Торонто, Complutense (Мадрид).

Президент ММО (1996). Векторная диаграмма - это способ графического задания колебательного движения в виде вектора.

В 1995—1998 гг. занимал должность вице-президента Международного математического союза, сейчас является членом его исполнительного комитета.

Председатель попечительского совета Независимого Московского университета, главный научный сотрудник Математического института имени В. А. Стеклова РАН, профессор университета Париж-Дофин.

коммутационные схемы Перечень команд AutoCAD ; Метод суперпозиции