Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказдипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

Пример 2.1 Пусть $ x_0=0$ и рассматривается функция $ f(x)=2\sin x+1$. Покажем, что $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1.$
Для этого фиксируем произвольное число $ {\varepsilon}>0$, задающее окрестность $ (1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})$, и выясним, при каких $ x$ значения функции $ f(x)$ будут попадать в эту окрестность точки1.
Рис.2.2.График $ y=2\sin x+1$


Попадание значений $ f(x)$ в окрестность $ (1-{\varepsilon};1+{\varepsilon})$ означает, что выполняется неравенство $ {\vert(2\sin x+1)-1\vert<{\varepsilon}}$, то есть $ {\vert\sin x\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}}$. При этом нас интересуют только те решения этого неравенства, которые лежат вблизи точки $ {x_0=0}$. Решая неравенство, получаем, что оно выполняется при $ {\vert x\vert<\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}$. Таким образом, если взять $ {{\delta}=\arcsin\dfrac{{\varepsilon}}{2}}$ (это число больше 0), то при $ {x\in(-{\delta};0)\cup(0;{\delta})}$ будет выполнено неравенство $ {\vert f(x)-1\vert<{\varepsilon}}$, что и означает, что предел равен числу 1: $ \lim\limits_{x\rightarrow 0}(2\sin x+1)=1$, или $ {2\sin x+1\xrightarrow {x\to0}1}$.

Рассмотрим теперь другой важный случай предела.

Определение 2.2 Предел последовательности при $ n\rightarrow \infty$.
Пусть дана бесконечная последовательность $ \{y_n\}$ чисел, занумерованных по порядку:
$\displaystyle y_1, y_2, y_3, \dots, y_n, \dots\ .$
(Эту последовательность можно рассматривать как функцию $ f(n)=y_n$, определённую при всех натуральных значениях аргумента $ n$.) Дадим определение предела последовательности $ \{y_n\}$ при условии, что номер $ n$ неограниченно растёт (это условие обозначается $ n\rightarrow \infty$). Стремление $ n$ к бесконечности означает, что при своём изменении номер становится большим любого наперёд заданного числа $ N\in\mathbb{N}$, то есть начинает выполняться неравенство $ n>N$. Если при этом числа $ y_n$ становятся всё ближе к некоторому фиксированному числу $ L$, то это число-- предел последовательности, что записывается так:
$\displaystyle L=\lim_{n\rightarrow \infty}y_n.$

Рис.2.3.Последовательность и её предел


Формализуем сказанное. Множества чисел $ n$, заданные условиями $ n>N$, можно назвать окрестностями бесконечности. Равенство $ L=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n$ означает тогда, что
для любого, сколь угодно малого, числа $ {\varepsilon}>0$ можно найти такое число $ N$ (зависящее от $ {\varepsilon}$), что при $ n>N$ (то есть в достаточно далёкой окрестности бесконечности будет выполняться неравенство $ \vert y_n-L\vert<{\varepsilon}$.
При этом число $ L$ называется пределом последовательности $ \{y_n\}$ при условии $ {n\rightarrow \infty}$. Тот факт, что $ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n=L$, записывают также в виде
$\displaystyle y_n\xrightarrow {n\to\infty}L.$

 

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.

        Теорема 3.15   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют на отрезке $ [a;b]$ непрерывные производные $ f'(x)$ и $ g'(x)$ . Тогда имеет место формула

$\displaystyle \int_a^bf(x)g'(x)\;dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^bg(x)f'(x)\;dx.$

    

        Замечание 3.5   Заметим, что эту формулу можно записать в виде

$\displaystyle \int_a^bf(x)g'(x)\;dx=f(x)g(x)\Bigr\vert _a^b-\int_a^bg(x)f'(x)\;dx,$

где выражение

$\displaystyle f(x)g(x)\Bigr\vert _a^b=f(b)g(b)-f(a)g(a)$

называется внеинтегральным членом. Введя обозначения $ u=f(x)$ и $ v=g(x)$ , мы можем переписать формулу интегрирования по частям в более коротком виде:

$\displaystyle \int_a^bu\;dv=uv\Bigr\vert _a^b-\int_a^bv\;du.$

    

        Доказательство теоремы 3.15.     Поскольку из условий теоремы следует, что под знаками интегралов в левой и правой частях равенства стоят непрерывные функции, то к этим интегралам можно применять формулу Ньютона - Лейбница:

$\displaystyle \int_a^bf(x)g'(x)\;dx=F(b)-F(a)$

и

$\displaystyle \int_a^bg(x)f'(x)\;dx=G(b)-G(a).$

Пусть $ F(x)$  -- некоторая первообразная для функции $ f(x)g'(x)$ , а $ G(x)$  -- некоторая первообразная для функции $ g(x)f'(x)$ . Формула интегрирования по частям для неопределённого интеграла, то есть

$\displaystyle \int f(x)g'(x)\;dx=f(x)g(x)-\int g(x)f'(x)\;dx,$

означает, что

$\displaystyle F(x)=f(x)g(x)-G(x)+C,$

где $ C=\mathrm{const}$ . Положим теперь $ x=b$ и $ x=a$ и получим: $ F(b)=f(b)g(b)-G(b)+C$ и $ F(a)=f(a)g(a)-G(a)+C$ , откуда

$\displaystyle F(b)-F(a)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\bigl(G(b)-G(a)\bigr).$

Но с учётом равенств, полученных выше по формуле Ньютона - Лейбница, это как раз и даёт доказываемую формулу.     

        Замечание 3.6   Советы, в каких случаях целесообразно применять формулу интегрирования по частям, остаются теми же, как в случае вычисления неопределённых интегралов. Выигрыш от применения формулы интегрирования по частям для определённого интеграла по сравнению с предварительным вычислением первообразной по формуле интегрирования по частям для неопределённого интеграла, а затем применением формулы Ньютона - Лейбница получается от того, что мы сразу, при возникновении внеинтегрального члена, можем вычислить подстановку и далее при преобразованиях использовать полученное число вместо выражения, задающего внеинтегральный член.     

Телефония Анализ и синтез речи ОДУ высших порядков. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Владимир Игоревич Арнoльд (род. 12 июня 1937, Одесса) — выдающийся российский математик.

Окончил механико-математический факультет Московского государственного университета (МГУ). Ученик А. Н. Колмогорова [1]. Доктор физико-математических наук (1963). В 1965—1986 годах — профессор МГУ. Академик АН СССР (с 1990). Двойные интегралы

Иностранный член Национальной Академии наук США, Французской Академии наук, почётный член Лондонского Королевского общества и др. Закон Кулона и пpинцип супеpпозиции полей. Электpостатика лекции и конспекты по физике

Почётный доктор университетов Пьера и Мари Кюри (Париж), Варвика (Ковентри), Утрехта, Болоньи, Торонто, Complutense (Мадрид).

Президент ММО (1996). Векторная диаграмма - это способ графического задания колебательного движения в виде вектора.

В 1995—1998 гг. занимал должность вице-президента Международного математического союза, сейчас является членом его исполнительного комитета.

Председатель попечительского совета Независимого Московского университета, главный научный сотрудник Математического института имени В. А. Стеклова РАН, профессор университета Париж-Дофин.

коммутационные схемы Перечень команд AutoCAD блок управления двигателем audi a8.;Усилитель мобильного сигнала для мобильных телефонов sony-ericsson; Метод суперпозиции