Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


Пример 2.2 Покажем, что предел последовательности $ y_n=\dfrac{1}{n^2}$ равен 0.
Рис.2.4.Последовательность $ \dfrac{1}{n^2}$


Фиксируем произвольное число $ {\varepsilon}>0$ и подберём число $ N$ в зависимости от $ {\varepsilon}$ так, чтобы при $ n>N$ выполнялось неравенство $ \vert y_n-0\vert<{\varepsilon}$, то есть $ \dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}$. Решая это неравенство, получаем, что оно выполняется при $ n>\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}$. Значит, достаточно выбрать в качестве $ N$ натуральное число, ближайшее к $ \dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}$ справа на вещественной оси, то есть $ N=\lceil\dfrac{1}{\sqrt{{\varepsilon}}}\rceil$, и тогда при любом $ n>N$ неравенство $ \dfrac{1}{n^2}<{\varepsilon}$ будет верным. Это означает, что
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{1}{n^2}=0,$
или $ \dfrac{1}{n^2}\xrightarrow {n\to\infty}0$.

Совершенно аналогично определению предела последовательности выглядит следующее определение.

Определение 2.3 Предел функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow +\infty$.
Определим окрестности бесконечности как множества точек $ x$, заданные неравенствами $ x>a$, то есть лучи $ (a;+\infty)$. Потребуем, чтобы для любой, сколь угодно малой, окрестности $ (y_0-{\varepsilon};y_0+{\varepsilon})$ точки $ y_0$ можно было найти такую окрестность бесконечности $ (a_{{\varepsilon}};+\infty)$, что при попадании $ x$ в эту окрестность, то есть при $ x>a_{{\varepsilon}}$, соответствующее значение $ y=f(x)$ попадает в заданную вначале окрестность точки $ y_0$, то есть выполняется неравенство $ \vert f(x)-y_0\vert<{\varepsilon}$. Выполнение этого требования будет означать, что $ y_0$-- предел функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow +\infty$, то есть
$\displaystyle y_0=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x).$

Рис.2.5.Предел при $ x\to+\infty$


Тот факт, что $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=y_0$, записывают ещё в виде
$\displaystyle f(x)\xrightarrow {x\to+\infty}y_0.$

Пример 2.3 Покажем, что предел функции $ f(x)=\dfrac{3x-2}{x+1}$ при $ x\to+\infty$ равен числу 3.
Рис.2.6.График функции $ y=\dfrac{3x-2}{x+1}$


Фиксируем $ {\varepsilon}>0$ и подберём по этому числу $ {\varepsilon}$ такое число $ a$, что при любом $ x>a$ выполняется неравенство
$\displaystyle \left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}.$
Сразу будем считать, что $ a$-- неотрицательное число. Неравенство можно записать в виде $ \left\vert-\dfrac{5}{x+1}\right\vert<{\varepsilon}$ или $ \vert x+1\vert>\dfrac{5}{{\varepsilon}}$. Так как $ x>a\geqslant 0$, то $ x+1>0$ и неравенство имеет вид $ x+1>\dfrac{5}{{\varepsilon}}$, откуда $ x>\dfrac{5}{{\varepsilon}}-1$. Если теперь взять число $ a_{{\varepsilon}}$ равным $ \dfrac{5}{{\varepsilon}}-1$ (или равным 0, если эта разность отрицательна), то при $ x>a_{{\varepsilon}}$ будет выполняться неравенство $ \left\vert\dfrac{3x-2}{x+1}-3\right\vert<{\varepsilon}$; это означает, что
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x-2}{x+1}=3,$
или $ \dfrac{3x-2}{x+1}\xrightarrow {x\to+\infty}3$.

Упражнение 2.1 Опираясь на свою интуицию и здравый смысл, сформулируйте определение предела функции $ f(x)$ при условии $ x\rightarrow -\infty$. Для этого ответьте на предварительный вопрос: какие множества естественно назвать окрестностями $ -\infty$?
Рис.2.7.Предел при $ x\to-\infty$


Пользуясь этим определением, покажите, что $ \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{3x+2}{2x-5}=\dfrac{3}{2}$.

Проверка геометрического смысла интеграла при подсчёте площади части круга

Напомним, что выше мы проверили, что формула

 

$\displaystyle S=\int_a^bf(x)\;dx$

действительно даёт площадь трапеции, давно нам известную в том случае, когда линия $ y=f(x)$  -- прямая. Мы заметили, что надо еще проверить, что эта формула не противоречит другому издавна известному нам случаю площади: когда линия $ y=f(x)$  -- часть окружности, то эту площадь можно подсчитать, исходя из формулы для площади круга (напомним, она равна $ \pi R^2$ для круга радиуса $ R$ ). Не ограничивая общности, можно считать, что центр круга совпадает с началом координат координатной плоскости $ xOy$ , так что окружность радиуса $ R$ имеет уравнение

 

$\displaystyle x^2+y^2=R^2.$

Верхняя полуокружность задана тогда уравнением $ y=\sqrt{R^2-x^2}$ , то есть представляет собой график функции $ f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ .

Рис.3.5.


Пусть теперь взят отрезок $ [a;b]$ , целиком умещаюшийся на диаметре $ [-R;R]$ , лежащем на оси $ Ox$ . Для определённости разберём случай, когда $ a>0$ (тогда $ 0<a<b\leqslant R$ ). Проведём вертикальные отрезки $ x=a$ и $ x=b$ через концы $ [a;b]$ до пересечения с полуокружностью и получим криволинейную трапецию. Для подсчёта её площади геометрическим способом проведём радиусы $ OM$ и $ ON$ в точки пересечения вертикальных отрезков $ x=a$ и $ x=b$ , соответственно, с полуокружностью. Длины этих вертикальных отрезков равны $ \sqrt{R^2-a^2}$ и $ \sqrt{R^2-b^2}$ . Площадь треугольника $ OMa$ равна, очевидно, $ S_1=\frac{1}{2}a\sqrt{R^2-a^2}$ , а площадь треугольника $ ONb$ равна $ S_2=\frac{1}{2}b\sqrt{R^2-b^2}$ . Радиус $ OM$ проведён под углом $ {\varphi}_1=\arccos\frac{a}{R}$ к оси $ Ox$ , а радиус $ ON$  -- под углом $ {\varphi}_2=\arccos\frac{b}{R}$ к оси $ Ox$ . Используя формулу площади сектора с центральным углом $ {\varphi}_1-{\varphi}_2$ , находим площадь сектора круга $ MON$ :

$\displaystyle S_{сект.}=\frac{1}{2}R^2({\varphi}_1-{\varphi}_2)= \frac{1}{2}R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R}).$

Поскольку, как видно из чертежа, площадь $ S$ криволинейной трапеции $ aMNb$ равна

$\displaystyle S=S_{сект.}+S_{\triangle ONb}-S_{\triangle OMa},$

то получаем формулу

$\displaystyle S=\frac{1}{2}R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R}) +\frac{1}{2}b\sqrt{R^2-b^2}-\frac{1}{2}a\sqrt{R^2-a^2}.$

Наша задача -- проверить, что к той же самой формуле приводят и правила интегрирования, если площадь криволинейной трапеции $ aMNb$ подсчитывать по общей фоpмуле площади области, лежащей под гpафиком функции $ y=f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ , то есть вычислять как $ S=\int\limits_a^b\sqrt{R^2-x^2}\;dx.$

Итак, приступаем к преобразованию этого интеграла. Первым делом проинтегрируем по частям:

$\displaystyle S=\int\limits_a^b\sqrt{R^2-x^2}\;dx= \left\vert\begin{array}{l} ... ...ht\vert= x\sqrt{R^2-x^2}\Bigr\vert _a^b-\int_a^b\frac{-x^2}{\sqrt{R^2-x^2}}dx=$   
$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-\int_a^b\frac{(R^2-x^2)-R^2}{\sqrt{R^2-x^2}}dx=$   
$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-\underbrace{\int_a^b\sqrt{R^2-x^2}\;dx}_{{}=S}+ R^2\int_a^b\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}=$   
$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-S+R^2(-\arccos\frac{x}{R})\Bigr\vert _a^b=$   
$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-S+R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R}).$   

После интегрирования по частям мы преобразовали интеграл в правой части, добавив и отняв $ R^2$ в числителе, после чего поделили скобку $ (R^2-x^2)$ на $ \sqrt{R^2-x^2}$ и получили тот же интеграл, с которого начинали, то есть $ S$ . Оставшийся интеграл

$\displaystyle \int_a^b\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}$ --

табличный, но вместо привычной табличной формулы

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{R}+C$

мы воспользовались (тоже верной) формулой

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}=-\arccos\frac{x}{R}+C$

и применили формулу Ньютона - Лейбница для вычисления определённого интеграла. Теперь в полученном равенстве

$\displaystyle S= b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-S+R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R})$

перенесём $ S$ из правой части в левую и поделим обе части пополам. Получим:

 

$\displaystyle S= \frac{1}{2}b\Bigl( \sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}+R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R})\Bigr).$

Это та же самая формула для площади $ S$ , что была получена выше, исходя из формулы площади кругового сектора. Значит, способ подсчёта площади с помощью интеграла не противоречит и этой формуле площади, известной из элементарной геометрии.

Интегрирование рациональных дробей

 В параграфе рассматривается интегрирование функций вида , где Т(х) и R(x) – многочлены от х. Если степень многочлена Т(х) больше или равна степени многочлена R(x) то делением многочлена Т(х) на многочлен R(x) выделяем целую часть – многочлен Ф(х), т.е. , где степень многочлена Q(x) меньше степени многочлена R(x). Интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

 Интегрирование правильной рациональной дроби основано на теореме о представлении этой дроби конечной суммой простейших дробей. Вид этого разложения зависит от разложения многочлена Q(x) на множители. Множителям вида (х – а)k (а – действительный корень многочлена Q(x) кратности k) соответствуют k простейших дробей:

,

где Аm – постоянные.

 Множителям вида (x2 + px + q)i l (трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней) соответствует i простейших дробей вида:

,

где B, D – постоянные.

 Если разложение многочлена Q(x) на множители имеет вид  

Где а1, …, аi -  действительные корни многочлена, соответственно кратности k1, k2 …, ki, а трехчлены x2 +p1x +q1, x2 +pj x + qj не имеют действительных корней, то разложение в сумму простейших дробей ищется в виде:

.

Здесь в (1)  - некоторые, пока неопределенные коэффициенты, способ отыскания которых будет указан ниже.

Математический анализ Типовые расчеты по математике