Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


В школе изучались уравнения линий на плоскости. В пространстве мы будем пользоваться уравнениями поверхностей и линий. Уточним сейчас, что такое уравнение поверхности.

Определение 11.1 Пусть в пространстве задана некоторая система координат и поверхность $ S$ . Будем говорить, что уравнение, связывающее три упорядоченные переменные, является уравнением поверхности $ S$ в заданной системе координат, если координаты любой точки поверхности $ S$ удовлетворяют этому уравнению, а координаты любой точки, не лежащей на поверхности $ S$ , этому уравнению не удовлетворяют.

Вместо слов "координаты точки удовлетворяют уравнению" иногда будем говорить "точка удовлетворяет уравнению".

Если мы изменим систему координат, то, как правило, изменится и уравнение поверхности.

[an error occurred while processing this directive]

Если уравнение достаточно сложное, то удовлетворяющие ему точки могут образовывать не только поверхность, но и другие множества, например, линию, одну точку, пару линий. Есть такие уравнения, которым не удовлетворяет ни одна точка пространства. Например, ни одна точка с координатами $ (x;y;z)$ не удовлетворяет уравнению $ {x^2+y^2+z^2=-1}$ .

В определении сказано, что уравнение должно связывать три переменных, но по записи уравнения не всегда можно определить, сколько переменных оно связывает. Например, уравнение $ x+y=0$ можно рассматривать как уравнение прямой на плоскости, но можно это же уравнение записать в виде $ x+y+0\cdot z=0$ , и тогда оно будет определять поверхность в пространстве (плоскость, как станет известно дальше). Поэтому кроме самого уравнения должна быть задана информация о том, в пространстве какой размерности находится определяемое этим уравнением множество точек.

Одна и та же поверхность может задаваться разными уравнениями. Например, если в уравнении поверхности $ S$ в правой части стоит нуль: $ {F(x,y,z)=0}$ , то обе части уравнения можно возвести в квадрат и получить $ {(F(x,y,z))^2=0}$ . Новое уравнение будет являться уравнением той же самой поверхности $ S$ , хотя будет выглядеть по другому. Естественно, что когда говорят об уравнении поверхности, то из всех уравнений этой поверхности стараются выбрать наиболее "простое".

Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^2+4x+5}.$

Для этого выделим в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат:

$\displaystyle x^2+4x+5=(x^2+4x+4)+1=(x+2)^2+1.$

Затем сделаем замену $ z=x+2$ :

$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^2+4x+5}= \left\vert\begin{array}{l} z=x+1\\... ... x=0\Ra z=1\\ x=1\Ra z=2 \end{array}\right\vert= \int_1^2\frac{dz}{z^2+1}=$   
$\displaystyle \mathop{\rm arctg}\nolimits z\Bigr\vert _1^2=\mathop{\rm arctg}\n... ...ts 2-\mathop{\rm arctg}\nolimits 1=\mathop{\rm arctg}\nolimits 2-\frac{\pi}{4}.$   

Ответ: $ \int\limits_0^1\frac{\textstyle{dx}}{\textstyle{x^2+4x+5}}=\mathop{\rm arctg}\nolimits 2-\frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{4}}$ .     

        Пример 3.7   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{dx}{x\ln x}.$

Перейдём к новой переменной $ z=\ln x$ :

$\displaystyle \int_e^{e^2}\frac{dx}{x\ln x}= \left\vert\begin{array}{l} z=\ln... ...dz}{e^zz}=\int_1^2\frac{dz}{z}=\ln\vert z\vert\Bigr\vert _1^2= \ln2-\ln1=\ln2.$

Ответ: $ \int\limits_e^{e^2}\frac{\textstyle{dx}}{\textstyle{x\ln x}}=\ln2.$     

        Пример 3.8   При $ x>0$ вычислим интеграл с переменным верхним пределом:

$\displaystyle F(x)=\int_1^x\frac{1}{t}dt.$

Применяя формулу Ньютона - Лейбница на отрезке между 1 и $ x$ , получаем:

$\displaystyle F(x)=\ln t\Bigr\vert _1^x=\ln x-\ln1=\ln x.$

Согласно геометрическому смыслу интеграла как площади криволинейной трапеции под графиком функции, получаем, что $ \ln x$  -- это площадь заштрихованной области под ветвью гиперболы $ y=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x}}$ (см. рис.):

Рис.3.6.


    

        Пример 3.9   Найдём значение функции

$\displaystyle F(x)=\int_1^x\ln t\;dt.$

Применим формулу интегрирования по частям, взяв $ u=\ln t$ и $ dv=dt$ :

$\displaystyle F(x)=\int_1^x\ln t\;dt \left\vert\begin{array}{l} u=\ln t\\ d... ...t_1^xt\cdot\frac{dt}{t}= x\ln x-\int_1^xdt=x\ln x-t\Bigr\vert _1^x=x\ln x-x+1.$

Ответ:

$\displaystyle F(x)=\int_1^x\ln t\;dt=x\ln x-x+1.$

    

        Пример 3.10   Найдём производную функции

$\displaystyle F(x)=\int_x^{x^2}e^{-t^2}dt.$

Представим интеграл $ F(x)$ в виде

$\displaystyle F(x)=\int_0^{x^2}e^{-t^2}dt- \int_0^xe^{-t^2}dt=F_1(x)-F_2(x)$

(проверьте, что это так, воспользовавшись свойством аддитивности интеграла). Затем, по теореме о производной интеграла по верхнему пределу, получаем

$\displaystyle F_2'(x)=e^{-x^2}.$

При вычислении производной от $ F_1(x)$ , кроме теоремы о производной интеграла по верхнему пределу $ z=x^2$ , воспользуемся правилом нахождения производной композиции:

 

$\displaystyle F_1'(x)=(F_1)'_z\cdot z'_x=e^{-z^2}\cdot2x=2xe^{-x^4}.$

В итоге получаем:

 

$\displaystyle F'(x)=2xe^{-x^4}-e^{-x^2}.$

 

Интегрирование рациональных дробей

 В параграфе рассматривается интегрирование функций вида , где Т(х) и R(x) – многочлены от х. Если степень многочлена Т(х) больше или равна степени многочлена R(x) то делением многочлена Т(х) на многочлен R(x) выделяем целую часть – многочлен Ф(х), т.е. , где степень многочлена Q(x) меньше степени многочлена R(x). Интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

 Интегрирование правильной рациональной дроби основано на теореме о представлении этой дроби конечной суммой простейших дробей. Вид этого разложения зависит от разложения многочлена Q(x) на множители. Множителям вида (х – а)k (а – действительный корень многочлена Q(x) кратности k) соответствуют k простейших дробей:

,

где Аm – постоянные.

 Множителям вида (x2 + px + q)i l (трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней) соответствует i простейших дробей вида:

,

где B, D – постоянные.

 Если разложение многочлена Q(x) на множители имеет вид  

Где а1, …, аi -  действительные корни многочлена, соответственно кратности k1, k2 …, ki, а трехчлены x2 +p1x +q1, x2 +pj x + qj не имеют действительных корней, то разложение в сумму простейших дробей ищется в виде:

.

Здесь в (1)  - некоторые, пока неопределенные коэффициенты, способ отыскания которых будет указан ниже.

Математический анализ Типовые расчеты по математике