Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Заметим, что во всех определениях предыдущего пункта ключевым оказывалось определение набора тех множеств, в которые последовательно, при своём изменении в соответствии с рассматриваемым условием, попадает переменное ($ x$ или $ n$), от которого зависит изменяющаяся величина ($ f(x)$ или $ y_n$). В случае условия $ x\rightarrow x_0$ эти множества имеют вид $ (x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})$; в случае $ x\rightarrow +\infty$-- вид $ (a;+\infty)$; в случае $ n\rightarrow \infty$-- вид $ \{n\in\mathbb{N}:n>N\}=\{N+1,N+2,\dots\}$. Назовём их окончаниями базы предела при данном условии, а полный набор таких окончаний-- базой предела. Базу предела будем обозначать так же, как само условие, а именно, $ x\to x_0$, $ x\to+/infty$, $ n\to\infty$ и т.п. Таким образом,

$\displaystyle \{x\rightarrow x_0\}=\{(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta}),\ {\delta}>0\},$

$\displaystyle \{n\rightarrow \infty\}=\{\{n\in\mathbb{N}:n>N\},\ N\in\mathbb{N}\},$

$\displaystyle \{x\rightarrow +\infty\}=\{(a;+\infty),\ a\in\mathbb{R}\}.$
[an error occurred while processing this directive]

Итак, база предела-- это набор окончаний, которые должны удовлетворять таким свойствам: все они непусты и если $ E_1$ и $ E_2$-- два разных окончания (одной и той же базы), то база должна содержать третье окончание $ E_3$, которое содержится в каждом из первых двух: $ E_3\sbs E_1\cap E_2$.

Нетрудно видеть, что в рассмотренных выше трёх примерах баз, действительно, все окончания-- непустые множества и пересечение двух окончаний совпадает с одним из них (с меньшим) и, тем самым, $ E_3$ можно взять равным этому меньшему окончанию. Получили, что рассмотренные наборы множеств действительно являются базами.

Произвольную базу будем обозначать $ \mathcal{B}$, а её окончания-- буквой $ E$, быть может, снабжённой индексами. Если $ {E_1,E_2\in\mathcal{B}}$, причём $ {E_2\sbs E_1}$, то окончание $ E_2$ будем называть более далёким, чем окончание $ E_1$. Например, для базы $ {x\rightarrow +\infty}$ окончание $ {\{x>b\}}$ более далёкое, чем $ {\{x>a\}}$, если $ {b>a}$; для базы $ {x\rightarrow x_0}$ окончание $ {E_{{\delta}}=(x_0-{\delta};x_0)\cup(x_0;x_0+{\delta})}$ является тем более далёким, чем меньше число $ {{\delta}>0}$.

Теперь дадим определение предела по заданной базе $ \mathcal{B}$.

Определение 2.4 Пусть $ \mathcal{B}$-- некоторая база и функция $ f(x)$ определена во всех точках $ x$ некоторого окончания $ E_0$ базы $ \mathcal{B}$ (и, значит, определена во всех точках более далёких окончаний $ E\sbs E_0$). Число $ L$ называется пределом функции $ f(x)$ по базе $ \mathcal{B}$ (или при базе $ \mathcal{B}$) и обозначается
$\displaystyle L=\lim_{\mathcal{B}}f(x),$
если
для любого (сколь угодно малого) числа $ {\varepsilon}>0$ найдётся такое окончание $ E$ базы $ \mathcal{B}$, что при всех $ x\in E$ выполняется неравенство
$\displaystyle \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}.$
Тот факт, что $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$, записывают ещё в виде
$\displaystyle f(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}L.$

Нетрудно заметить, что в случае баз $ x\rightarrow x_0$, $ n\rightarrow \infty$ и $ x\rightarrow +\infty$ это общее определение предела, при соответствующей подстановке вида окончаний этих баз, означает ровно то же самое, что приведённые выше, в предыдущем разделе, частные определения пределов.

Геометрический смысл данного определения предела таков: на плоскости $ xOy$, на которой нарисован график функции $ y=f(x)$, проведём горизонтальную полосу ширины $ 2{\varepsilon}$ вокруг горизонтальной прямой $ y=L$. Тот факт, что $ f(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}L$, означает, что найдётся достаточно далёкое окончание базы $ \mathcal{B}$, на котором график функции целиком лежит в этой полосе. При уменьшении ширины полосы окончание, возможно, придётся брать более далёким, но, всё равно, и в любую более узкую полосу умещается график на достаточно далёком окончании.

Рис.2.8.График функции, имеющей предел, умещается в любую узкую полосу на достаточно далёком окончании

Формула понижения степени

        Замечание 2.1   В промежуточных вычислениях мы получили также способ нахождения интегралов вида

$\displaystyle \int\frac{\sin^2x\,dx}{\cos^mx}$ и $\displaystyle \int\frac{\cos^2x\,dx}{\sin^mx},$

которые сводятся, после интегрирования по частям, к интегралам $ I_{m-2}$ и $ J_{m-2}$ .     

        Пример 2.7   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}.$

Здесь $ m=4$ . После однократного применения формулы понижения степени (2.2), дело сведётся к нахождению интеграла $ I_2=\int\frac{dx}{\cos^2x}=\mathop{\rm tg}\nolimits x+C$ . Итак,

$\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}=I_4=\frac{2}{3}I_2 +\frac{\sin x}{3\cos^3x}= \frac{2}{3}\mathop{\rm tg}\nolimits x+\frac{\sin x}{3\cos^3x}+C.$

    

        Замечание 2.2   Приведённый в этом примере способ вычисления интеграла $ I_4$ и подобных ему -- не единственно возможный. Если записать подынтегральное выражение в виде

$\displaystyle \frac{dx}{\cos^4x}=\frac{1}{\cos^2x}\cdot\frac{dx}{\cos^2x}$

и заметить, что $ \frac{1}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x$ и $ \frac{dx}{\cos^2x}=d\mathop{\rm tg}\nolimits x$ , то получим равенство

$\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}=\int(1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x)d\math... ...t^3}{3}+C=\mathop{\rm tg}\nolimits x+\frac{1}{3}\mathop{\rm tg}\nolimits ^3x+C,$

где $ t=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ . Первообразные в этих двух ответах тождественно равны друг другу:

$\displaystyle \frac{2}{3}\mathop{\rm tg}\nolimits x+\frac{\sin x}{3\cos^3x}= \... ...mits ^2x)= \mathop{\rm tg}\nolimits x+\frac{1}{3}\mathop{\rm tg}\nolimits ^3x.$

    

        Пример 2.8   Для вычисления интеграла

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^5x}$

формулу (2.3) нужно будет применить два раза подряд:

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^5x}=J_5= \frac{3}{4}J_3-\frac{\cos x}{4\sin^4x}=$   
$\displaystyle =\frac{3}{4}\Bigl(\frac{1}{2}J_1-\frac{\cos x}{2\sin^2x}\Bigr)- ... ...its \frac{x}{2}\Bigr\vert- \frac{3\cos x}{8\sin^2x}-\frac{\cos x}{4\sin^4x}+C.$   

    

Интегрирование рациональных дробей

 В параграфе рассматривается интегрирование функций вида , где Т(х) и R(x) – многочлены от х. Если степень многочлена Т(х) больше или равна степени многочлена R(x) то делением многочлена Т(х) на многочлен R(x) выделяем целую часть – многочлен Ф(х), т.е. , где степень многочлена Q(x) меньше степени многочлена R(x). Интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

 Интегрирование правильной рациональной дроби основано на теореме о представлении этой дроби конечной суммой простейших дробей. Вид этого разложения зависит от разложения многочлена Q(x) на множители. Множителям вида (х – а)k (а – действительный корень многочлена Q(x) кратности k) соответствуют k простейших дробей:

,

где Аm – постоянные.

 Множителям вида (x2 + px + q)i l (трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней) соответствует i простейших дробей вида:

,

где B, D – постоянные.

 Если разложение многочлена Q(x) на множители имеет вид  

Где а1, …, аi -  действительные корни многочлена, соответственно кратности k1, k2 …, ki, а трехчлены x2 +p1x +q1, x2 +pj x + qj не имеют действительных корней, то разложение в сумму простейших дробей ищется в виде:

.

Здесь в (1)  - некоторые, пока неопределенные коэффициенты, способ отыскания которых будет указан ниже.

Математический анализ Типовые расчеты по математике