Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Пусть в трехмерном пространстве задана декартова прямоугольная система координат. Попробуем установить, какой вид может иметь уравнение плоскости. Для этого заметим, что все плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны друг другу.

Определение 11.2 Любая прямая, перпендикулярная плоскости, называется нормалью к плоскости, а любой ненулевой вектор на такой прямой мы будем называть нормальным вектором плоскости.

Замечание 11.1 Из определения видно, что нормальный вектор у фиксированной плоскости определяется не однозначно. Все нормальные векторы одной плоскости коллинеарны друг другу и поэтому получаются один из другого умножением на число, отличное от нуля.

Для того чтобы из параллельных плоскостей выбрать одну, достаточно задать точку, через которую проходит эта плоскость. Итак, если у плоскости известны нормальный вектор и точка, через которую она проходит, то плоскость определена однозначно.

Теорема 11.1 Пусть вектор $ {\bf n}=(A,B,C),\quad{\bf n}\ne0,$ является нормальным вектором плоскости $ \Pi$ , проходящей через точку $ M_0(x_0,y_0,z_0)$ . Тогда уравнение
$\displaystyle A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$(11.1)

является уравнением плоскости $ \Pi$ .
[an error occurred while processing this directive]

Доказательство. Пусть $ M(x,y,z)$ -- некоторая точка плоскости $ \Pi$ (рис.11.1). Иногда говорят "текущая точка" плоскости, так как предполагается, что ее координаты меняются и точка пробегает всю плоскость.




Рис.11.1.


Вектор $ \overrightarrow {M_0M}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ лежит на плоскости $ \Pi$ . Следовательно, вектор $ \overrightarrow {M_0M}$ ортогонален вектору n. Если же взять точку $ Q$ , не лежащую на плоскости $ \Pi$ , то вектор $ \overrightarrow {M_0Q}$ не будет ортогональным вектору n. Так как условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения (свойство 8, теорема 10.2), то условием того, что точка $ M$ лежит в плоскости $ \Pi$ , является выполнение равенства

$\displaystyle {\bf n}\cdot\overrightarrow {M_0M}=0.$(11.2)

[an error occurred while processing this directive]

Выразив скалярное произведение в левой части этого равенства через координаты сомножителей по формуле(10.1), получим формулу(11.1).

Пусть r -- радиус-вектор текущей точки $ M$ плоскости $ \Pi$ , $ {\bf r}_0$ -- радиус-вектор точки $ M_0$ . Тогда уравнение(11.2) можно переписать в виде

$\displaystyle {\bf n}\cdot({\bf r}-{\bf r}_0)=0.$

Такое уравнение обычно называют векторным уравнением плоскости $ \Pi$ .

Раскроем скобки в уравнении(11.1). Так как точка $ M_0$ -- фиксированная, то выражение $ -Ax_0-By_0-Cz_0$ является числом, которое обозначим буквой $ D$ . Тогда уравнение(11.1) принимает вид

$\displaystyle Ax+By+Cz+D=0.$(11.3)


Такое уравнение называется общим уравнением плоскости. Еще раз отметим, что в этом уравнении хотя бы один из коэффициентов $ A,\,B,\,C$ отличен от нуля, так как $ {\bf n}\ne0$ .

Верно и обратное утверждение:

        Пример 2.15   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}}\,dx.$

Подынтегральная функция рациональным образом зависит от $ v=\sqrt[6]{x}$ , поскольку её можно записать в виде

$\displaystyle \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}}= \frac{(\sqrt[6]{x})^3+1}{(\sqrt[6]{x})^2-\sqrt[6]{x}}= \frac{v^3+1}{v^2-v}.$

Сделаем замену $ v=\sqrt[6]{x}$ :

$\displaystyle \int\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}}\,dx= \left\vert\b... ...right\vert= \int\frac{v^3+1}{v^2-v}\cdot6v^5dv= 6\int\frac{v^7+v^4}{v-1}\,dv.$

Получили интеграл от рациональной дроби $ \frac{\textstyle{v^7+v^4}}{\textstyle{v-1}},$ которая является неправильной дробью, поскольку степень её числителя, равная 7, больше степени знаменателя, равной 1. Значит, нужно выделить в этой дроби целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель "столбиком":

\begin{displaymath} \arraycolsep=0.05em \begin{array}{rrrrrrrr@{\,}r\vert l} ... ...&&2v\\ &&&&&&2v&{}-2\\ \cline{7-8} &&&&&&&2 \end{array} \end{displaymath}

Получили частное $ v^6+v^5+v^4+2v^3+2v^2+2v+2$ и остаток 2, значит, неправильная дробь представляется в виде

$\displaystyle \frac{v^7+v^4}{v-1}=v^6+v^5+v^4+2v^3+2v^2+2v+2+\frac{2}{v-1}.$

Теперь можно вычислить интеграл:

$\displaystyle \int\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}}\,dx= 6\int\frac{v^7+v^4}{v-1}\,dv= 6\int\Bigl(v^6+v^5+v^4+2v^3+2v^2+2v+2+\frac{2}{v-1}\Bigr)\,dv=$   
$\displaystyle =6\Bigl(\frac{v^7}{7}+\frac{v^6}{6}+\frac{v^5}{5}+2\frac{v^4}{4}+... ... +2\frac{v^2}{2}+2v+2\ln\vert v-1\vert\Bigr)+C\Bigr\vert _{v=x^{\frac{1}{6}}}=$   
$\displaystyle =\frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+x+\frac{6}{5}x^{\frac{5}{6}}+3x^{\fra... ...}{2}} +6x^{\frac{1}{3}}+12x^{\frac{1}{6}}+12\ln\vert x^{\frac{1}{6}}-1\vert+C.$   

    

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

  Интегралы вида R (sin x, cos x) dx, где в общем случае R – рациональная функция, приводятся к интегралам отрицательных функций с помощью универсальной подстановки .

.

.

x = 2arctg t .

 Обратим внимание, что применение подстановки tg(x/2) = t возможно только на промежутках, не содержащих точек вида 2kp, k Î Z. В дальнейшем это подразумевается.

  Пример 1.

.

  Подстановка t = tg(x/2), являющаяся универсальной для интегралов от рациональных выражений, содержащих функции sin x и cos x, приводит иногда к довольно сложным выкладкам. Ниже рассматриваются некоторые случаи, когда подынтегральная функция приводится к рациональной дроби более простым способом.

I. Если R (–sin x, cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка cos x = t.

II. Если R (sin x, –cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка sin x = t.

III. Если R (–sin x, –cos x) = R (sin x, cos x), то применяется подстановка tg x = t.

Математический анализ Типовые расчеты по математике