Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Теорема 11.2 Всякое уравнение(11.3), в котором $ \vert A\vert+\vert B\vert+\vert C\vert\ne0$ , является уравнением плоскости, ортогональной вектору $ {\bf n}=(A,B,C)$ .

Доказательство. Условие $ \vert A\vert+\vert B\vert+\vert C\vert\ne0$ означает, что хотя бы одно из чисел $ A,\,B,\,C$ , отлично от нуля. Пусть это будет, например, число $ B$ . Преобразуем уравнение(11.3) следующим образом:

$\displaystyle A(x-0)+B\left(y-\left(-\frac DB\right)\right)-C(z-0)=0.$

По теореме 11.1 такое уравнение является уравнением плоскости с нормальным вектором n, проходящей через точку $ M_0\left(0;-\frac DB; 0\right)$ .

Теорема 11.1 позволяет написать уравнение плоскости, если известна точка этой плоскости и вектор, ортогональный плоскости. Однако, довольно часто встречаются задачи, где требуется получить уравнение плоскости, если известна точка, лежащая на ней, и два неколлинеарных вектора, лежащих или, что то же самое, параллельных плоскости. Покажем на примере, как решается такая задача.

Пример 11.1 Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через точку $ M_0(1,2,-2)$ и параллельной векторам $ {\bf p}=(1;2;-1)$ и $ {\bf q}=(-2;0;3)$ .
Решение. Векторное произведение $ {\bf p}\times {\bf q}$ по определению 10.26 ортогонально векторам p и q. Следовательно, оно ортогонально искомой плоскости и вектор $ {{\bf n}={\bf p}\times {\bf q}}$ можно взять в качестве ее нормального вектора. Найдем координаты вектора n:
$\displaystyle {\bf n}={\bf p}\times {\bf q}=\left\vert\begin{array}{rrr}{\bf i}... ...j}&{\bf k}\\ 1&2&-1\\ -2&0&3\end{array}\right\vert= 6{\bf i}-{\bf j}+4{\bf k},$
то есть $ {\bf n}=(6;-1;4)$ . Используя формулу(11.1), получим
$\displaystyle 6(x-1)+(-1)(y-2)+4(z-(-2))=0.$
Раскрыв в этом уравнении скобки, приходим к окончательному ответу.
Ответ: $ 6x-y+4z+4=0$ .

 

        Пример 2.16   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}.$

Выполняя замену $ t=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ , получаем:

$\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}=\left\vert\begin{array}{l} t=\mathop{\r... ...c{1}{1+t^2}}=\int\frac{dt}{3t^2+4}= \frac{1}{3}\int\frac{dt}{t^2+\frac{4}{3}}=$   
$\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{3}}\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{\sqrt{3}t}{... ...{3}}\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{\sqrt{3}\mathop{\rm tg}\nolimits x}{2}+C.$   

Если в том же интеграле сделать универсальную замену, то получаем:

$\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}= \left\vert\begin{array}{l} t=\mathop{... ...\Bigr)^2}\cdot\frac{2\,dt}{1+t^2}= \frac{1}{2}\int\frac{(1+t^2)dt}{t^4+t^2+1}.$   

Получили интеграл от рациональной функции переменного $ t$ . Однако вычисление этого интеграла представляется весьма трудоёмким, поскольку непонятно даже, как искать разложение знаменателя на множители5. Так что первая замена оказалась много лучше второй.     

        Замечание 2.5   Замена $ {t=\mathop{\rm tg}\nolimits x}$ годится также в случае интеграла $ \int R(\sin x,\cos x)\,dx$ , в котором функция $ R(u,v)$ рациональным образом зависит от $ u$ и $ v$ и обладает следующим свойством:

$\displaystyle R(-u,-v)=R(u,v).$

Тогда при замене нужно использовать формулы

$\displaystyle \sin x=\pm\frac{\mathop{\rm tg}\nolimits x}{\sqrt{1+\mathop{\rm t... ...x=\pm\frac{1}{\sqrt{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}}=\pm\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}.$

Если же подынтегральная функция $ R(\sin x,\cos x)$ зависит от своих аргументов несимметричным образом, то ничего не остаётся делать, как применять не всегда приятную универсальную замену $ t=\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}$ .     

        Пример 2.17   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin x+2\cos x+1}.$

Применяем универсальную замену:

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin x+2\cos x+1}= \left\vert\begin{array}{l} t=\... ...1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{2(1-t^2)}{1+t^2}+1}= -2\int\frac{dt}{t^2-2t-3}=$   
$\displaystyle =-2\int\frac{dt}{(t-1)^2-4}= -\frac{1}{2}\ln\left\vert\frac{t-1-... ...}\nolimits \frac{x}{2}-3}{\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}+1}\right\vert+C.$   

В данном примере исходная подынтегральная функция была не столь уж сложна, и универсальная замена сразу привела нас к табличному интегралу.     

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

  Интегралы вида R (sin x, cos x) dx, где в общем случае R – рациональная функция, приводятся к интегралам отрицательных функций с помощью универсальной подстановки .

.

.

x = 2arctg t .

 Обратим внимание, что применение подстановки tg(x/2) = t возможно только на промежутках, не содержащих точек вида 2kp, k Î Z. В дальнейшем это подразумевается.

  Пример 1.

.

  Подстановка t = tg(x/2), являющаяся универсальной для интегралов от рациональных выражений, содержащих функции sin x и cos x, приводит иногда к довольно сложным выкладкам. Ниже рассматриваются некоторые случаи, когда подынтегральная функция приводится к рациональной дроби более простым способом.

I. Если R (–sin x, cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка cos x = t.

II. Если R (sin x, –cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка sin x = t.

III. Если R (–sin x, –cos x) = R (sin x, cos x), то применяется подстановка tg x = t.

Математический анализ Типовые расчеты по математике