Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказдипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

Часто при вычислении какого-либо предела естественно для упрощения выражения, от которого берётся предел, сделать некоторую замену переменного. Пусть, например, требуется вычислить

$\displaystyle \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin^2x+2\sin x+1}{\sin^2x-\sin x+2}.$

Тогда естественно с целью упрощения сделать замену $ s=\sin x$: при этом функция, от которой берётся предел, упростится и будет иметь вид $ f(s)=\dfrac{s^2+2s+1}{s^2-s+2}$. Однако при этом нужно знать, как изменится база предела: что мы должны написать вместо $ x\to-\frac{\pi}{2}$ под знаком предела от функции $ f(s)$?

Рассмотрим общую ситуацию. Пусть (например, для упрощения выражения) предлагается сделать некоторую замену $ t={\varphi}(x)$, при этом исходный предел вычислялся при базе $ \mathcal{B}$, состоящей из некоторых окончаний $ E$. Тогда база множеств, которым принадлежит параметр $ t$, будет состоять из образов окончаний $ E$ при отображении их функцией $ {\varphi}(x)$: надо посмотреть, куда перейдёт произвольное окончание старой базы при действии функции $ {\varphi}$. Получится набор множеств $ {\varphi}(\mathcal{B})=\{{\varphi}(E)\}=\mathcal{B}'$, где множества $ {\varphi}(E)$ состоят из всех таких точек $ t$, что $ t={\varphi}(x)$ при некотором $ x\in E$.

Рис.2.12.Преобразование базы $ x\to x_0$ под действием функции $ {\varphi}(x)$
[an error occurred while processing this directive]

Теорема 2.2 Пусть $ \mathcal{B}$-- некоторая база и $ {\varphi}(x)$-- некоторая функция, определённая на каком-нибудь окончании базы $ \mathcal{B}$. Тогда множество $ \mathcal{B}'={\varphi}(\mathcal{B})$-- это тоже база.

Доказательство. Во-первых, все множества $ E'={\varphi}(E)$ не пусты, так как не пусты множества $ E$: если $ x\in E$, то $ E'$ содержит, по крайней мере, точку $ {\varphi}(x)$. Осталось показать, во-вторых, что если $ E_1'={\varphi}(E_1)$ и $ E_2'={\varphi}(E_2)$ (где $ E_1,E_2\in\mathcal{B}$)-- два множества из $ \mathcal{B}'$, то найдётся такое множество $ E_3'={\varphi}(E_3)$ ( $ E_3\in\mathcal{B}$), что $ E_3'\sbs E_1'\cap E_2'$. Множество $ E_1'\cap E_2'={\varphi}(E_1)\cap{\varphi}(E_2)$, по определению, состоит из всех точек $ {\varphi}(x)$, где $ x\in E_1$ и $ x\in E_2$ одновременно, то есть $ x\in E_1\cap E_2$. Рассмотрим теперь некоторое окончание $ E_3\sbs E_1\cap E_2$ (такое окончание найдётся, по определению базы $ \mathcal{B}$) и соответствующее множество $ E_3'={\varphi}(E_3)$. Тогда все значения $ {\varphi}(x)$ при $ x\in E_3$ будут среди значений $ {\varphi}(x)$ при $ x\in E_2\cap E_3$, то есть $ {\varphi}(E_3)=E_3'\sbs{\varphi}(E_1)\cap{\varphi}(E_2)=E_1'\cap E_2'$, что и требовалось показать.

Иногда получается, что если $ \mathcal{B}$-- одна из знакомых нам рассмотренных выше баз, то и $ {\varphi}(\mathcal{B})=\mathcal{B}'$-- это тоже база известного типа.

 

3. Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $ \sin x$ и $ \cos x$ .

Интегралы вида

$\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\,dx,$

где $ R(u,v)$  -- функция, рациональным образом зависящая от $ u$ и $ v$ , можно привести к интегралу от рациональной функции от одного переменного $ t$ , если сделать так называемую "универсальную" замену

$\displaystyle t=\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}.$

При этом

$\displaystyle \sin x=\frac{2\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}}{1+\mathop{\rm... ... ^2\frac{x}{2}}{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2\frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2} $

и $ x=2\mathop{\rm arctg}\nolimits t$ , откуда

$\displaystyle dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}.$

С помощью этих формул исходный интеграл преобразуется к виду

$\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\,dx= \int R\Bigl(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\Bigr)\frac{2\,dt}{1+t^2}= \int R_1(t)\,dt,$

где

$\displaystyle R_1(t)=R\Bigl(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\Bigr)\frac{2}{1+t^2}.$

Нетрудно заметить, что $ R_1(t)$  -- рациональная функция одного переменного $ t$ .

Если имеет место частный случай рациональной зависимости от $ \sin x$ и $ \cos x$ , когда обе эти функции входят в выражение лишь в чётных степенях, то есть подынтегральная функция имеет вид

$\displaystyle R(\sin^2x,\cos^2x),$

то применять универсальную замену не обязательно: она, как правило, будет приводить к слишком сложным интегралам; в этих случаях гораздо лучше применить другую тригонометрическую замену:

$\displaystyle t=\mathop{\rm tg}\nolimits x.$

В этом случае

$\displaystyle \sin^2x=\frac{\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}{1+\mathop{\rm tg}\nol... ...2}{1+t^2};\ % \cos^2x=\frac{1}{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}=\frac{1}{1+t^2}$

и $ x=\mathop{\rm arctg}\nolimits t$ , откуда

$\displaystyle dx=\frac{dt}{1+t^2}.$

Среди каналов ввода-вывода выделяли мультиплексные каналы Производная и дифференциал. Исследование функций. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Исраэль Роберт Джон Ауманн (англ. Yisrael Robert John Aumann , родился 8 июня 1930, Франкфурт-на-Майне) — израильский математик, лауреат Нобелевской премии по экономике 2005 г. «За расширение понимания проблем конфликта и кооперации с помощью анализа в рамках теории игр». математик, профессор Еврейского университета в Иерусалиме. Корни уравнения

Родился в Германии, но его семья вынуждена была эмигрировать в США. Вырос в Нью-Йорке, закончил Нью-йоркский Сити-колледж и Массачусетский технологический институт, где защитил докторскую диссертацию по математике. В 1956 году репатриировался в Израиль. После приезда работает в Еврейском университете, живёт и работает в Иерусалиме. Потенциал электpостатического поля. Электpостатика лекции и конспекты по физике До самого своего выхода на пенсию работает профессором при Центре рациональных исследований в Еврейском университете. В 1994 году профессор Ауман был награждён премией Израиля по экономике вместе с профессором Михаэлем Бруно.

Операционное исчисление Примеры решения задач математика

коммутационные схемы Перечень команд AutoCAD ; Метод суперпозиции