Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Часто при вычислении какого-либо предела естественно для упрощения выражения, от которого берётся предел, сделать некоторую замену переменного. Пусть, например, требуется вычислить

$\displaystyle \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin^2x+2\sin x+1}{\sin^2x-\sin x+2}.$

Тогда естественно с целью упрощения сделать замену $ s=\sin x$: при этом функция, от которой берётся предел, упростится и будет иметь вид $ f(s)=\dfrac{s^2+2s+1}{s^2-s+2}$. Однако при этом нужно знать, как изменится база предела: что мы должны написать вместо $ x\to-\frac{\pi}{2}$ под знаком предела от функции $ f(s)$?

Рассмотрим общую ситуацию. Пусть (например, для упрощения выражения) предлагается сделать некоторую замену $ t={\varphi}(x)$, при этом исходный предел вычислялся при базе $ \mathcal{B}$, состоящей из некоторых окончаний $ E$. Тогда база множеств, которым принадлежит параметр $ t$, будет состоять из образов окончаний $ E$ при отображении их функцией $ {\varphi}(x)$: надо посмотреть, куда перейдёт произвольное окончание старой базы при действии функции $ {\varphi}$. Получится набор множеств $ {\varphi}(\mathcal{B})=\{{\varphi}(E)\}=\mathcal{B}'$, где множества $ {\varphi}(E)$ состоят из всех таких точек $ t$, что $ t={\varphi}(x)$ при некотором $ x\in E$.

Рис.2.12.Преобразование базы $ x\to x_0$ под действием функции $ {\varphi}(x)$
[an error occurred while processing this directive]

Теорема 2.2 Пусть $ \mathcal{B}$-- некоторая база и $ {\varphi}(x)$-- некоторая функция, определённая на каком-нибудь окончании базы $ \mathcal{B}$. Тогда множество $ \mathcal{B}'={\varphi}(\mathcal{B})$-- это тоже база.

Доказательство. Во-первых, все множества $ E'={\varphi}(E)$ не пусты, так как не пусты множества $ E$: если $ x\in E$, то $ E'$ содержит, по крайней мере, точку $ {\varphi}(x)$. Осталось показать, во-вторых, что если $ E_1'={\varphi}(E_1)$ и $ E_2'={\varphi}(E_2)$ (где $ E_1,E_2\in\mathcal{B}$)-- два множества из $ \mathcal{B}'$, то найдётся такое множество $ E_3'={\varphi}(E_3)$ ( $ E_3\in\mathcal{B}$), что $ E_3'\sbs E_1'\cap E_2'$. Множество $ E_1'\cap E_2'={\varphi}(E_1)\cap{\varphi}(E_2)$, по определению, состоит из всех точек $ {\varphi}(x)$, где $ x\in E_1$ и $ x\in E_2$ одновременно, то есть $ x\in E_1\cap E_2$. Рассмотрим теперь некоторое окончание $ E_3\sbs E_1\cap E_2$ (такое окончание найдётся, по определению базы $ \mathcal{B}$) и соответствующее множество $ E_3'={\varphi}(E_3)$. Тогда все значения $ {\varphi}(x)$ при $ x\in E_3$ будут среди значений $ {\varphi}(x)$ при $ x\in E_2\cap E_3$, то есть $ {\varphi}(E_3)=E_3'\sbs{\varphi}(E_1)\cap{\varphi}(E_2)=E_1'\cap E_2'$, что и требовалось показать.

Иногда получается, что если $ \mathcal{B}$-- одна из знакомых нам рассмотренных выше баз, то и $ {\varphi}(\mathcal{B})=\mathcal{B}'$-- это тоже база известного типа.

 

3. Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $ \sin x$ и $ \cos x$ .

Интегралы вида

$\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\,dx,$

где $ R(u,v)$  -- функция, рациональным образом зависящая от $ u$ и $ v$ , можно привести к интегралу от рациональной функции от одного переменного $ t$ , если сделать так называемую "универсальную" замену

$\displaystyle t=\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}.$

При этом

$\displaystyle \sin x=\frac{2\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}}{1+\mathop{\rm... ... ^2\frac{x}{2}}{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2\frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2} $

и $ x=2\mathop{\rm arctg}\nolimits t$ , откуда

$\displaystyle dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}.$

С помощью этих формул исходный интеграл преобразуется к виду

$\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\,dx= \int R\Bigl(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\Bigr)\frac{2\,dt}{1+t^2}= \int R_1(t)\,dt,$

где

$\displaystyle R_1(t)=R\Bigl(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\Bigr)\frac{2}{1+t^2}.$

Нетрудно заметить, что $ R_1(t)$  -- рациональная функция одного переменного $ t$ .

Если имеет место частный случай рациональной зависимости от $ \sin x$ и $ \cos x$ , когда обе эти функции входят в выражение лишь в чётных степенях, то есть подынтегральная функция имеет вид

$\displaystyle R(\sin^2x,\cos^2x),$

то применять универсальную замену не обязательно: она, как правило, будет приводить к слишком сложным интегралам; в этих случаях гораздо лучше применить другую тригонометрическую замену:

$\displaystyle t=\mathop{\rm tg}\nolimits x.$

В этом случае

$\displaystyle \sin^2x=\frac{\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}{1+\mathop{\rm tg}\nol... ...2}{1+t^2};\ % \cos^2x=\frac{1}{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}=\frac{1}{1+t^2}$

и $ x=\mathop{\rm arctg}\nolimits t$ , откуда

$\displaystyle dx=\frac{dt}{1+t^2}.$

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

  Интегралы вида R (sin x, cos x) dx, где в общем случае R – рациональная функция, приводятся к интегралам отрицательных функций с помощью универсальной подстановки .

.

.

x = 2arctg t .

 Обратим внимание, что применение подстановки tg(x/2) = t возможно только на промежутках, не содержащих точек вида 2kp, k Î Z. В дальнейшем это подразумевается.

  Пример 1.

.

  Подстановка t = tg(x/2), являющаяся универсальной для интегралов от рациональных выражений, содержащих функции sin x и cos x, приводит иногда к довольно сложным выкладкам. Ниже рассматриваются некоторые случаи, когда подынтегральная функция приводится к рациональной дроби более простым способом.

I. Если R (–sin x, cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка cos x = t.

II. Если R (sin x, –cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка sin x = t.

III. Если R (–sin x, –cos x) = R (sin x, cos x), то применяется подстановка tg x = t.

Математический анализ Типовые расчеты по математике