Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказдипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

Пример 2.5 Пусть производится замена $ t={\varphi}(x)=3x-2$, где $ x\to2$. Здравый смысл подсказывает нам, что если $ x$ приближается к 2 и $ t=3x-2$, то значения $ t$ будут приближаться к $ 3\cdot2-2=4$, то есть база $ x\to2$ при такой замене переходит в базу $ t\to4$. Это, конечно, верный результат но не всё так просто, как покажут нам следующие два примера.
Рис.2.13.Преобразование базы $ x\to2$ при замене $ t=3x-2$

[an error occurred while processing this directive]
Пока что проверим формально результат, полученный нами с помощью интуитивных представлений о "стремлении". Пусть $ E_{{\delta}}=(2-{\delta}2+{\delta})\diagdown \{2\}$-- это произвольное окончание базы $ x\to2$. Посмотрим, во что это множество перейдёт при действии функции $ {\varphi}(x)=3x-2$. Поскольку эта линейная функция возрастает (её угловой коэффициент 3 положителен), то точки $ t=3x-2$ будут лежать между теми, в которые переходят концы интервала, то есть между $ {t_1={\varphi}(2-{\delta})=3(2-{\delta})-2=4-3{\delta}}$ и $ {t_2={\varphi}(2+{\delta})=3(2+{\delta})-2=4+3{\delta}}$, и не будут совпадать с $ {t_0={\varphi}(2)=4}$. Тем самым получили, что $ {{\varphi}(E_{{\delta}})=(4-3{\delta}4+3{\delta})\diagdown \{4\}}$. При произвольном $ {{\delta}>0}$ получаем произвольную проколотую окрестность точки 4 с полушириной : $ {{\varphi}(E_{{\delta}})=E'_{{\delta}'}}$. Очевидно, что набор множеств $ E'_{{\delta}'}$-- это база $ {t\to4}$, как мы и предполагали, исходя из интуитивных соображений.

Пример 2.6 Пусть производится замена $ t=x^2$ и $ x\to0$. Рассуждая, как в предыдущем примере, получаем, что, наверное, $ t$ тоже стремится к 0, то есть нужно рассматривать базу $ t\to0$. Это, однако, не вполне верно. Следующий чертёж показывает, что образами окончаний $ E_{{\delta}}=(-{\delta}{\delta})\diagdown \{0\}$ базы $ x\to0$ служат не проколотые окрестности точки $ t=0$ (являющиеся окончаниями базы $ t\to0$), а интервалы $ E'=(0,{\delta}')$, где $ {\delta}'={\delta}^2$, примыкающие на оси $ t$ (если её расположить горизонтально) справа к точке $ t=0$.
Рис.2.14.График $ t=x^2$ и преобразование базы $ x\to0$ в базу $ t\to0+$


Набор таких интервалов образует правостороннюю базу $ t\to0+$, а не двустороннюю базу $ t\to0$, как мы поторопились предположить. В некоторых примерах разница между этими базами может быть существенной при вычислении предела.
(Ниже мы рассмотрим предел $ \lim\limits_{x\to0}x^2e^{-\frac{1}{x^2}}$, в котором эта разница существенна.)

      Пример 2.18   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{4-x^2}}.$

Подкоренное выражение имеет вид $ m^2-z^2$ , где $ z=x$ и $ m=2$ . Значит, подойдёт замена $ x=2\sin t$ , откуда $ dx=2\cos t\,dt$ и $ \sqrt{4-x^2}=2\cos t$ . Получаем:

$\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{4-x^2}}= \int\frac{2\cos t\,dt}{2\sin t\cdot2\cos t}= \frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sin t}=$   
$\displaystyle =\frac{1}{2}\ln\Bigl\vert\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{t}{2}\Big... ...\ln\Bigl\vert\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{\arcsin\frac{x}{2}}{2}\Bigr\vert+C.$   

    

Во многих случаях предложенные замены -- не единственно возможные и даже, быть может, не самые удачные. Найденный только что интеграл можно было бы вычислить, например, с помощью иной замены, $ z=\frac{1}{x}$ ; эта замена годится для вычисления всех интегралов вида $ \int\frac{\textstyle{dx}}{\textstyle{x\sqrt{ax^2+bx+c}}}$ . Предварительно преобразуем интеграл следующим образом:

$\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{4-x^2}}= \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2(\frac{4}{x^2}-1)}}= \int\frac{dx}{x\vert x\vert\sqrt{\frac{4}{x^2}-1}}.$

Заметим, что поскольку $ 4-x^2>0$ и $ x\ne0$ , имеем $ x\in(-2;0)\cup(0;2)$ . Рассматривая случай $ x\in(0;2)$ , когда $ \vert x\vert=x$ , получаем интеграл

$\displaystyle \int\frac{dx}{x^2\sqrt{\frac{4}{x^2}-1}}= \left\vert\begin{array... ...{\sqrt{4z^2-1}}=-\frac{1}{2}\ln\Bigl\vert z+\sqrt{z^2-\frac{1}{4}}\Bigr\vert+C=$   
$\displaystyle =-\frac{1}{2}\ln\Bigl\vert\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{4}}\Bigr\vert+C,$   

а в случае $ x\in(-2;0)$ , когда $ \vert x\vert=-x$ , получаем интеграл

$\displaystyle -\int\frac{dx}{x^2\sqrt{\frac{4}{x^2}-1}}= \frac{1}{2}\ln\Bigl\vert\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{4}}\Bigr\vert+C.$   

В итоге получаем

$\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{4-x^2}}= -\frac{\mathop{\rm sign}\nolimits x}{2}\ln\Bigl\vert\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{4}}\Bigr\vert+C. $

Заметим, что в примере полученный ответ имел (формально) другой вид. Однако напомним, что найденные разными способами первообразные могут различаться на постоянное слагаемое на каждом из интервалов области определения; кроме того, не следует забывать про возможность тождественных преобразований, особенно когда речь идёт о тригонометрических выражениях.

 

Среди каналов ввода-вывода выделяли мультиплексные каналы Производная и дифференциал. Исследование функций. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Исраэль Роберт Джон Ауманн (англ. Yisrael Robert John Aumann , родился 8 июня 1930, Франкфурт-на-Майне) — израильский математик, лауреат Нобелевской премии по экономике 2005 г. «За расширение понимания проблем конфликта и кооперации с помощью анализа в рамках теории игр». математик, профессор Еврейского университета в Иерусалиме. Корни уравнения

Родился в Германии, но его семья вынуждена была эмигрировать в США. Вырос в Нью-Йорке, закончил Нью-йоркский Сити-колледж и Массачусетский технологический институт, где защитил докторскую диссертацию по математике. В 1956 году репатриировался в Израиль. После приезда работает в Еврейском университете, живёт и работает в Иерусалиме. Потенциал электpостатического поля. Электpостатика лекции и конспекты по физике До самого своего выхода на пенсию работает профессором при Центре рациональных исследований в Еврейском университете. В 1994 году профессор Ауман был награждён премией Израиля по экономике вместе с профессором Михаэлем Бруно.

Операционное исчисление Примеры решения задач математика

коммутационные схемы Перечень команд AutoCAD ; Метод суперпозиции