Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Пример 2.7 Пусть производится замена $ t={\varphi}(x)=x^2$ при базе $ x\to1$. Интуитивно ясно, что когда $ x$ приближается к1, то и $ t=x^2$ тоже будет приближаться к1, причём "ловушки" предыдущего примера здесь нет: так как при $ x\geqslant 0$ функция $ x^2$ возрастает, то при $ x<1$ и близких к1 будет получаться $ t<1$, близкое к1, а при $ x>1$ и близких к1 будет получаться $ t>1$, близкое к1. Поэтому должна бы, вроде, при такой замене получиться база $ t\to1$. Однако и это не вполне так. Глядя на следующий чертёж, можно заметить, что образ окончания $ (1-{\delta}1+{\delta})\diagdown \{1\}$-- это множество
$\displaystyle ((1-{\delta})^2(1+{\delta})^2)\diagdown \{1\}=(1-2{\delta}+{\delta}^21)\cup(11+2{\delta}+{\delta}^2).$
Эти два интервала, примыкающие к точке 1 слева и справа, имеют разную длину: левый имеет длину $ 2{\delta}-{\delta}^2$, а правый-- длину $ 2{\delta}+{\delta}^2$, то есть левый короче правого на $ 2{\delta}^2$.
Рис.2.15.График $ t=x^2$ и преобразование базы $ x\to1$


Однако по определению базы $ t\to1$ окончания этой базы состоят из пары примыкающих к точке 1 симметричных интервалов! Так что формально получилась не база $ t\to1$, а нечто на неё похожее, но не совсем то же самое.

На самом деле получившаяся в этом примере после замены база $ \mathcal{B}'={\varphi}(\mathcal{B})$ эквивалентна базе $ t\to1$ в смысле следующего определения.

Определение 2.8 Две базы $ \mathcal{B}$ и $ \mathcal{B}'$ назовём эквивалентными, если в любом окончании $ {E\in\mathcal{B}}$ содержится некоторое окончание $ {E'\in\mathcal{B}'}$, и наоборот, в любом окончании $ {E'\in\mathcal{B}'}$ содержится некоторое окончание $ {E''\in\mathcal{B}}$.

Базы $ {\mathcal{B}=\{t\to1\}}$ и $ {\mathcal{B}'={\varphi}(x\to1)}$, рассмотренные в предыдущем примере, эквивалентны, так как любое несимметричное окончание базы $ \mathcal{B}'$, имеющее, как мы выяснили, вид $ {E'=(1-2{\delta}+{\delta}^21)\cup(11+2{\delta}+{\delta}^2)}$, содержится в симметричном окончании $ {E=(1-2{\delta}-{\delta}^21)\cup(11+2{\delta}+{\delta}^2)}$ и содержит симметричное окончание $ {E''=(1-2{\delta}+{\delta}^21)\cup(11+2{\delta}-{\delta}^2)}$ базы $ \mathcal{B}$.

Пределы, вычисленные по эквивалентным базам, совпадают, так что эквивалентные базы нет смысла отличать друг от друга. В этом мы убедимся, доказав следующую теорему.

Теорема 2.3 Пусть $ \mathcal{B}$ и $ \mathcal{B}'$-- две эквивалентные базы, и существует $ {\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L}$. Тогда предел $ {\lim\limits_{\mathcal{B}'}f(x)=L'}$ тоже существует, и $ L'=L$.

Доказательство. Пусть фиксировано число $ {\varepsilon}>0$. Так как по предположению теоремы $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$, то для этого $ {\varepsilon}$ можно указать такое окончание $ E$ базы $ \mathcal{B}$, при любом $ x$ из которого будет $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$. Поскольку база $ \mathcal{B}'$ эквивалентна базе $ \mathcal{B}$, найдётся окончание $ E'\in\mathcal{B}'$, такое что $ E'\sbs E$ следовательно, $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ при любом $ x\in E'$. Значит, $ \lim\limits_{\mathcal{B}'}f(x)=L$, что и требовалось доказать.

Итак, вычисление пределов по эквивалентным базам даёт один и тот же результат, и в дальнейшем мы не будем различать эквивалентные базы, в том числе и при их обозначении. В частности, все базы, эквивалентные введённой выше базе $ x\to x_0$, мы будем тоже обозначать $ x\to x_0$, все базы, эквивалентные введённой выше базе $ n\to\infty$,-- обозначать $ n\to\infty$, ит.п.

 

 

        Пример 2.19   Найдём интеграл

$\displaystyle \int\frac{dx}{1+\sqrt{x^2+2x+2}}.$

Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:

$\displaystyle x^2+2x+2=(x^2+2x+1)+1=(x+1)^2+1.$

Далее сделаем в интеграле замену $ z=x+1=tg t$ :

$\displaystyle \int\frac{dx}{1+\sqrt{x^2+2x+2}}= \left\vert\begin{array}{l} x+... ...\sqrt{\mathop{\rm tg}\nolimits ^2t+1}=\frac{1}{\cos t} \end{array}\right\vert=$   
$\displaystyle =\int\frac{dt}{\cos^2t\Bigl(1+\frac{1}{\cos t}\Bigr)}= \int\frac{dt}{\cos^2t+\cos t}.$   

Теперь сделаем универсальную замену $ u=\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{t}{2}$ :

$\displaystyle \int\frac{dt}{\cos^2t+\cos t}= \left\vert\begin{array}{l} u=\ma... ... dt=\frac{2du}{1+u^2}\\ \cos t=\frac{1-u^2}{1+u^2} \end{array}\right\vert=$   
$\displaystyle =\int\frac{\frac{2du}{1+u^2}}{\bigl(\frac{1-u^2}{1+u^2}\bigr)^2+\... ...^2}}= 2\int\frac{1+u^2}{(1-u^2)^2+(1-u^2)(1+u^2)}du=\int\frac{1+u^2}{1-u^2}du=$   
$\displaystyle =-\int\Bigl(1+\frac{2}{u^2-1}\Bigr)du= -u-\ln\Bigl\vert\frac{u-1... ...g}\nolimits \frac{t}{2}-1}{\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{t}{2}+1}\Bigr\vert+C=$   
$\displaystyle =-\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{\mathop{\rm arctg}\nolimits (x+1... ...op{\rm tg}\nolimits \frac{\mathop{\rm arctg}\nolimits (x+1)}{2}+1}\Bigr\vert+C.$   

    

        Упражнение 2.2   Упростите полученный ответ, выразив $ \mathop{\rm tg}\nolimits \frac{t}{2}$ через $ \mathop{\rm tg}\nolimits t$ с помощью формулы

$\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits t=\frac{\textstyle{2\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{t}{2}}}{\textstyle{1-\mathop{\rm tg}\nolimits ^2\frac{t}{2}}}.$

Учтите при этом, что $ \mathop{\rm tg}\nolimits (\mathop{\rm arctg}\nolimits (x+1))=x+1$ .     

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

  Интегралы вида R (sin x, cos x) dx, где в общем случае R – рациональная функция, приводятся к интегралам отрицательных функций с помощью универсальной подстановки .

.

.

x = 2arctg t .

 Обратим внимание, что применение подстановки tg(x/2) = t возможно только на промежутках, не содержащих точек вида 2kp, k Î Z. В дальнейшем это подразумевается.

  Пример 1.

.

  Подстановка t = tg(x/2), являющаяся универсальной для интегралов от рациональных выражений, содержащих функции sin x и cos x, приводит иногда к довольно сложным выкладкам. Ниже рассматриваются некоторые случаи, когда подынтегральная функция приводится к рациональной дроби более простым способом.

I. Если R (–sin x, cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка cos x = t.

II. Если R (sin x, –cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка sin x = t.

III. Если R (–sin x, –cos x) = R (sin x, cos x), то применяется подстановка tg x = t.

Математический анализ Типовые расчеты по математике