Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

В этом разделе мы изучим свойства бесконечно малых величин, то есть величин, стремящихся к 0. В следующих разделах на этой основе мы будем изучать свойства величин, имеющих произвольное значение предела.

Определение 2.9 Функция $ {\alpha}(x)$ называется бесконечно малой величиной при базе $ \mathcal{B}$, если её предел при данной базе равен 0, то есть $ {\alpha}\xrightarrow {\mathcal{B}}0$.

Заметим, что в этом определении фигурирует фиксированная база $ \mathcal{B}$; в зависимости от того, какая именно база взята, одна и та же функция может как быть бесконечно малой, так и не быть ею.

Пример 2.8 Рассмотрим функцию $ f(x)=2x-1$. При базе $ x\to\frac{1}{2}$ эта функция является бесконечно малой, а при базе $ x\to0$-- не является.
Рис.2.16.График функции $ y=2x-1$


Проверим это. Покажем, что $ {\lim\limits_{x\to\frac{1}{2}}(2x-1)=0}$. Возьмём произвольное $ {{\varepsilon}>0}$ и решим неравенство $ {\vert(2x-1)-0\vert<{\varepsilon}}$. Оно эквивалентно неравенству $ {-{\varepsilon}<2x-1<{\varepsilon}}$. Получаем ; это означает, что при $ {x\in(\frac{1}{2}-{\delta};\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2};\frac{1}{2}+{\delta})}$, где $ {{\delta}=\dfrac{{\varepsilon}}{2}}$, неравенство $ {\vert(2x-1)-0\vert<{\varepsilon}}$ выполняется, то есть $ {2x-1\xrightarrow {x\to\frac{1}{2}}0}$. Мы показали, что $ {2x-1}$-- бесконечно малая при $ {x\to\frac{1}{2}}$.
Теперь покажем, что $ \lim\limits_{x\to0}(2x-1)=-1$, то есть что эта величина не является бесконечно малой при $ x\to0$. Возьмём $ {\varepsilon}>0$ и найдём окрестность точки 0, в которой выполняется неравенство $ \vert(2x-1)-(-1)\vert<{\varepsilon}$. Это неравенство, очевидно, эквивалентно неравенству $ \vert x\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}$, то есть при $ {\delta}=\dfrac{{\varepsilon}}{2}$ попадание $ x$ в $ {\delta}$-окрестность точки 0 гарантирует выполнение неравенства $ \vert(2x-1)-(-1)\vert<{\varepsilon}$. Это означает, что $ (2x-1)\xrightarrow {x\to0}-1$.

 Топология изучает понятия непрерывности и близости с абстрактной точки зрения.

 Определение. Окрестностью точки р называется произвольное множество U, содержащее открытый шар (не включая границу) с центром в точке р.

 Окрестностью на плоскости, очевидно, является открытый круг с центром в точке р.

 Из определения окрестности вытекают следующие очевидные свойства:

 1) Точка р принадлежит любой своей окрестности.

 2) Если U – окрестность точки р, а V É U, то V – тоже окрестность точки р.

 3) Если U и V – окрестности точки р, то их пересечение U Ç V тоже будет окрестностью точки р.

 4) Если U – окрестность точки р, то можно найти такую окрестность V точки р, что W = V Ì U является окрестностью является окрестностью каждой из своих точек.

 Определение. Топологическим пространством незывается множество Е, каждая точка которого р имеет набор подмножеств множества Е, называемых окрестностями точки р и удовлетворяющих приведенным выше свойствам.

 Частным случаем топологического пространства является метрическое пространство.

 Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а F – его подмножество. Пусть р – точка множества F. Назовем подмножество U множества F окрестностью точки р в F, если U=FÇV, где V – окрестность точки р в E.

 При этом множество F называется подпространством  пространства Е.

[an error occurred while processing this directive]

Метрическое пространство.

 Определение. Метрикой на множестве Е называется функция f(x, y), определенная на декартовом произведении Е´Е, значениями которой являются неотрицательные действительные числа, удовлетворяющая при любых значениях х, у, z из множества Е следующим условиям:

 1) f(x, y) = f(y, x)

 2) f(x, y) + f(y, x) ³ f(x, y)

 3) f(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда х = у.

 Определение. Метрическим пространством называется множество Е с заданной на нем метрикой f.

 Определение. Число r(x, y), где х ÎЕ и у Î Е – заданные точки, называется расстоянием между этими точками.

 Определение. Пусть r – положительное число. Множество {y: r(x, y) < r} называется открытым шаром радиуса r с центром в точке х; множество {y: r(x, y) £ r} – замкнутым шаром радиуса r с центром в точке х.

 Например, для трехмерного евклидова пространства R3 метрика определяется как , где х(х1, х2, x3) Î R3 и y(y1, y2, y3) Î R3.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

  Интегралы вида R (sin x, cos x) dx, где в общем случае R – рациональная функция, приводятся к интегралам отрицательных функций с помощью универсальной подстановки .

.

.

x = 2arctg t .

 Обратим внимание, что применение подстановки tg(x/2) = t возможно только на промежутках, не содержащих точек вида 2kp, k Î Z. В дальнейшем это подразумевается.

  Пример 1.

.

  Подстановка t = tg(x/2), являющаяся универсальной для интегралов от рациональных выражений, содержащих функции sin x и cos x, приводит иногда к довольно сложным выкладкам. Ниже рассматриваются некоторые случаи, когда подынтегральная функция приводится к рациональной дроби более простым способом.

I. Если R (–sin x, cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка cos x = t.

II. Если R (sin x, –cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка sin x = t.

III. Если R (–sin x, –cos x) = R (sin x, cos x), то применяется подстановка tg x = t.

Математический анализ Типовые расчеты по математике