Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказдипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

Пример 2.9 Функция $ f(x)=\dfrac{1}{x}$-- бесконечно малая при $ x\to+\infty$, $ x\to-\infty$ и при $ x\to\pm\infty$. Для того, чтобы это доказать, достаточно для любого $ {\varepsilon}>0$ указать окончание $ \vert x\vert>a$ базы $ x\to\pm\infty$, на котором выполняется неравенство $ \left\vert\dfrac{1}{x}\right\vert<{\varepsilon}$. При $ \vert x\vert>a=\dfrac{1}{{\varepsilon}}$, очевидно, неравенство выполняется. Это означает, что $ \dfrac{1}{x}\xrightarrow {x\to\pm\infty}0$.

Докажем теперь теорему, связывающую бесконечно малые с величинами, имеющими произвольное значение предела.

Теорема 2.4 Функция $ f(x)$ имеет при базе предел, равный $ L$, тогда и только тогда, когда величина $ {\alpha}(x)=f(x)-L$ является бесконечно малой при базе $ \mathcal{B}$:
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}f(x)=L\quad\Longleftrightarrow \quad{\alpha}(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}0.$

Доказательство. Согласно определению предела, равенство $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$ означает, что для любого $ {\varepsilon}>0$ можно найти такое окончание $ E\in\mathcal{B}$, что

$\displaystyle \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ при всех $\displaystyle x\in E.$(2.1)


Условие $ {\alpha}(x)=f(x)-L\xrightarrow {\mathcal{B}}0$ означает, что для любого $ {\varepsilon}>0$ можно найти такое окончание $ E\in\mathcal{B}$, что

$\displaystyle \vert(f(x)-L)-0\vert<{\varepsilon}$ при всех $\displaystyle x\in E.$

[an error occurred while processing this directive]

Но это, очевидно, то же, что формула (2.1).

Теперь обратимся к свойствам, касающимся собственно бесконечно малых.

Теорема 2.5 Пусть $ {\alpha}(x)$ и $ {\beta}(x)$-- бесконечно малые при одной и той же базе $ \mathcal{B}$. Тогда и их сумма $ {\gamma}(x)={\alpha}(x)+{\beta}(x)$-- тоже бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$.

Доказательство.Пусть фиксировано некоторое число $ {\varepsilon}>0$. Рассмотрим положительное число $ \dfrac{{\varepsilon}}{2}$. Условие $ {\alpha}(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}0$ означает, что найдётся такое окончание $ E_1\in\mathcal{B}$, на котором $ \vert{\alpha}(x)\vert$ меньше этого положительного числа: $ \vert{\alpha}(x)\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}$ при всех $ x\in E_1$.

Точно так же, условие $ {\beta}(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}0$ означает, что найдётся такое окончание $ E_2\in\mathcal{B}$, на котором $ \vert{\beta}(x)\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}$ при всех $ x\in E_2$. По определению базы, она содержит некоторое окончание $ E_3\sbs E_1\cap E_2$. Так как $ E_3$-- часть как $ E_1$, так и $ E_2$, то оба неравенства выполняются при $ x\in E_3$. Тогда при $ x\in E_3$ будет

$\displaystyle \vert{\gamma}(x)\vert=\vert{\alpha}(x)+{\beta}(x)\vert\leqslant ... ...\beta}(x)\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{2}+\dfrac{{\varepsilon}}{2}={\varepsilon}.$

Итак, при произвольно заданном $ {\varepsilon}>0$ мы предъявили такое окончание $ E_3\in\mathcal{B}$, на котором выполняется неравенство $ \vert{\gamma}(x)\vert<{\varepsilon}$. Это означает, что $ {\gamma}\xrightarrow {\mathcal{B}}0$, то есть что $ {\gamma}(x)$-- бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$.

        Пример 2.20   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+2x-1}}.$

Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:

$\displaystyle x^2+2x-1=(x^2+2x+1)-2=(x+1)^2-2,$

и сделаем замену $ z=x+1=\frac{\sqrt{2}}{\cos t}$ :

$\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+2x-1}}= \left\vert\begin{array}{l} x+1... ...l(\frac{\sqrt{2}}{\cos t}-1\Bigr)\sqrt{2}\vert\mathop{\rm tg}\nolimits t\vert}=$   
$\displaystyle =\int\mathop{\rm sign}\nolimits (\mathop{\rm tg}\nolimits t)\frac{dt}{\sqrt{2}-\cos t}.$   

Рассмотрим два случая: $ \mathop{\rm tg}\nolimits t>0$ и $ \mathop{\rm tg}\nolimits t<0$ . Если $ \mathop{\rm tg}\nolimits t>0$ , то есть если $ t\in(0;\frac{\pi}{2})$ или $ x>\sqrt{2}-1$ , то интеграл равен

$\displaystyle \int\frac{dt}{\sqrt{2}-\cos t}.$

Если же $ \mathop{\rm tg}\nolimits t<0$ , то есть при $ x<-\sqrt{2}-1$ , интеграл равен

$\displaystyle -\int\frac{dt}{\sqrt{2}-\cos t}.$

Интегралы вычисляются с помощью универсальной замены $ u=\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{t}{2}$ :

$\displaystyle \int\frac{dt}{\sqrt{2}-\cos t}= \left\vert\begin{array}{l} u=\m... ... dt=\frac{2du}{1+u^2}\\ \cos t=\frac{1-u^2}{1+u^2} \end{array}\right\vert=$   
$\displaystyle \int\frac{\frac{2du}{1+u^2}}{\sqrt{2}-\frac{1-u^2}{1+u^2}}= 2\in... ...2}+1)u^2+(\sqrt{2}-1)}= \frac{2}{\sqrt{2}+1}\int\frac{du}{u^2+(\sqrt{2}-1)^2}=$   
$\displaystyle =2\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{u}{\sqrt{2}-1}+C =2\mathop{\... ...c{\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{\arccos\frac{\sqrt{2}}{x+1}}{2}}{\sqrt{2}-1}+C$   

(если $ x>\sqrt{2}-1$ ); в качестве упражнения выпишите, что получается при $ x<-\sqrt{2}-1$ ).     

        Замечание 2.6   Рассмотренный интеграл имеет вид $ \int\frac{\textstyle{dx}}{\textstyle{x\sqrt{ax^2+bx+c}}}$ . Как мы уже отмечали выше, для вычисления таких интегралов можно использовать замену $ z=\frac{1}{x}$ . Действительно, при $ x>0$ преобразуем интеграл так:

$\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+2x-1}}= \int\frac{dx}{x^2\sqrt{1+2\cdot\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}},$

а при $ x<0$  -- так:

$\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+2x-1}}= -\int\frac{dx}{x^2\sqrt{1+2\cdot\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}}.$

Далее указанная замена приводит к следующим вычислениям:

$\displaystyle \int\frac{dx}{x^2\sqrt{1+2\cdot\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}}= \lef... ...ight\vert= -\int\frac{dz}{\sqrt{1+2z-z^2}}= -\int\frac{dz}{\sqrt{2-(z-1)^2}}=$   
$\displaystyle =-\arcsin\frac{z-1}{\sqrt{2}}+C= -\arcsin\frac{1-x}{x\sqrt{2}}+C.$   

При $ x<0$ получаем в ответе

 

$\displaystyle \arcsin\frac{1-x}{x\sqrt{2}}+C.$

По-видимому, показать, что ответы, полученные разными способами, отличаются на постоянное слагаемое на каждом интегрвале области определения, будет в этом случае весьма непростой задачей, если не знать, откуда эти функции взялись.     

Среди каналов ввода-вывода выделяли мультиплексные каналы Производная и дифференциал. Исследование функций. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Исраэль Роберт Джон Ауманн (англ. Yisrael Robert John Aumann , родился 8 июня 1930, Франкфурт-на-Майне) — израильский математик, лауреат Нобелевской премии по экономике 2005 г. «За расширение понимания проблем конфликта и кооперации с помощью анализа в рамках теории игр». математик, профессор Еврейского университета в Иерусалиме. Корни уравнения

Родился в Германии, но его семья вынуждена была эмигрировать в США. Вырос в Нью-Йорке, закончил Нью-йоркский Сити-колледж и Массачусетский технологический институт, где защитил докторскую диссертацию по математике. В 1956 году репатриировался в Израиль. После приезда работает в Еврейском университете, живёт и работает в Иерусалиме. Потенциал электpостатического поля. Электpостатика лекции и конспекты по физике До самого своего выхода на пенсию работает профессором при Центре рациональных исследований в Еврейском университете. В 1994 году профессор Ауман был награждён премией Израиля по экономике вместе с профессором Михаэлем Бруно.

Операционное исчисление Примеры решения задач математика

коммутационные схемы Перечень команд AutoCAD ; Метод суперпозиции