Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказдипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

Пример 2.10 При базе $ x\to+\infty$ рассмотрим две бесконечно малых величины: $ {\alpha}(x)=\dfrac{1}{x}$ и $ {\beta}(x)=\dfrac{1}{x^2}$. Вместе с ними и величина $ {\gamma}(x)=\dfrac{1+x}{x^2}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}$ тоже является бесконечно малой при базе $ x\to+\infty$.

Докажем теперь, как следствие из предыдущей теоремы, утверждение о том, что бесконечно малой является сумма не только двух, но любого числа бесконечно малых величин.

Следствие 2.1 Пусть $ {\alpha}_1(x),{\alpha}_2(x),\dots,{\alpha}_n(x)$-- бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$, $ {n\geqslant 2}$. Тогда величина

$\displaystyle {\beta}_n(x)={\alpha}_1(x)+{\alpha}_2(x)+\ldots+{\alpha}_n(x)$
также является бесконечно малой при базе $ \mathcal{B}$.

Доказательство. Доказывать утверждение теоремы мы будем по индукции по числу слагаемых. Для двух слагаемых это утверждение верно по теореме 2.5. Пусть утверждение верно для $ n-1$ слагаемых; это означает, что величина $ {\beta}_{n-1}(x)={\alpha}_1(x)+\ldots+{\alpha}_{n-1}(x)$ бесконечно мала. Покажем, что тогда оно верно и для $ n$ слагаемых. По условию бесконечно мала также величина $ {\alpha}_n(x)$ и, значит, по теореме 2.5 бесконечно мала сумма этих двух бесконечно малых $ {{\beta}_{n-1}(x)+{\alpha}_n(x)={\alpha}_1(x)+\ldots+{\alpha}_{n-1}+{\alpha}_n(x)={\beta}_n(x)}$. Тем самым шаг индукции сделан и утверждение доказано для произвольного числа слагаемых $ n$.

В дальнейшем нам часто будет нужно рассматривать функции, которые не превосходят некоторой постоянной на некотором окончании данной базы. Дадим им следующее название.

Определение 2.10 Функция $ f(x)$ называется локально ограниченной при базе $ \mathcal{B}$, если она определена на некотором окончании $ E_0$ этой базы и существует такая постоянная $ K$, что $ \vert f(x)\vert\leqslant K$ при всех $ x\in E_0$.

Рис.2.17.Локально ограниченная величина при базе $ x\to x_0$


Пример 2.11 Любая постоянная величина $ C$ локально ограничена при любой базе. Действительно, в качестве ограничивающей постоянной $ K$ достаточно взять $ K=\vert C\vert$; тогда условие $ \vert C\vert=K\leqslant K$ верно для $ x$ из любого окончания $ E$ любой базы $ \mathcal{B}$.

Докажем следующее утверждение, имеющее вспомогательный характер для дальнейшего.

Предложение 2.1 Пусть при данной базе $ \mathcal{B}$ две функции $ f(x)$ и $ g(x)$ являются локально ограниченными. Тогда и их произведение тоже локально ограничено при этой базе.

Доказательство. Из условия следует, что $ \vert f(x)\vert\leqslant K_1$ при $ x\in E_1$ и $ \vert g(x)\vert\leqslant K_2$ при $ x\in E_2$, где $ K_1,K_2$-- некоторые постоянные и $ E_1,E_2$-- некоторые окончания базы $ \mathcal{B}$. Возьмём окончание $ E_3\sbs E_1\cap E_2$; при $ x\in E_3$ будут выполнены оба неравенства и, следовательно,

$\displaystyle \vert f(x)g(x)\vert=\vert f(x)\vert\,\vert g(x)\vert\leqslant K_1K_2.$

Это означает, что постоянная $ K=K_1K_2$ служит ограничивающей постоянной для произведения $ f(x)g(x)$ на окончании $ E_3$, то есть это произведение локально ограничено при базе $ \mathcal{B}$.

Локальная ограниченность функции не означает, что она ограничена на всей своей области определения. Например, функция $ f(x)=x$ локально ограничена при базе $ x\to0$, но не является ограниченной функцией при всех $ x\in\mathbb{R}$. Если в качестве базы рассматривается $ x\to x_0$, то локальная ограниченность функции при этой базе означает, что функция ограничена в некоторой, быть может, достаточно малой, окрестности точки$ x_0$.

Теорема 2.6 Пусть функция $ f(x)$ имеет предел при базе $ \mathcal{B}$. Тогда эта функция локально ограничена при этой базе.

Доказательство. Пусть $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$; это означает, что при любом $ {\varepsilon}>0$ (возьмём, например, $ {\varepsilon}=1$) найдётся такое окончание $ E$ базы $ \mathcal{B}$, что $ \vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ для любого $ x\in E$. Тем самым, при $ {\varepsilon}=1$ выполнено двойное неравенство $ -1+L<f(x)<1+L$.

Выберем из двух чисел $ -1+L$ и $ 1+L$ число с большей абсолютной величиной и обозначим его $ K$: $ K=\max\{\vert-1+L\vert,\vert 1+L\vert\}$. Тогда, очевидно, из последнего неравенства следует, что $ \vert f(x)\vert<K$; это означает, что функция $ f(x)$ локально ограничена.

В частности, локально ограничены при базе $ \mathcal{B}$ все бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$, так как все они, по определению, имеют предел (равный 0).

Свойства определённого интеграла

Из предыдущего может сложиться неверное впечатление, будто для интегрируемости функции на отрезке необходима её непрерывность. Это не так, и интегрируемыми могут быть и разрывные функции (но, конечно, не все). Достаточно широкий класс интегрируемых функций даёт следующая теорема.

        Теорема 3.4   Пусть функция $ f(x)$ монотонна на отрезке $ [a;b]$ , то есть либо не убывает, либо не возрастает на нём. Тогда $ f(x)$ интегрируема на $ [a;b]$ .

        Доказательство.     Разберём случай, когда $ f(x)$ не убывает на отрезке, то есть когда из неравенства $ x_1<x_2$ ( $ x_1,x_2\in[a;b]$ ) следует, что $ f(x_1)\leqslant f(x_2)$ . Если функция постоянна на отрезке $ [a;b]$ , то она непрерывна на нём и, следовательно, интегрируема9. Если же функция не постоянна, то $ f(b)>f(a)$ . Рассмотрим тогда произвольное число $ {\varepsilon}>0$ и возьмём $ {\delta}=\frac{{\varepsilon}}{f(b)-f(a)}$ . Выберем любое разбиение $ X=(x_1;\dots;x_{n-1})$ с диаметром $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)\leqslant {\delta}$ . Тогда нижняя интегральная сумма $ \ul S$ получится, если взять точки разметки $ \ov x_i=x_{i-1}$ , поскольку ввиду неубывания функции она принимает наименьшее значение в левом конце каждого из отрезков разбиения; аналогично, верхняя интегральная сумма $ \ov S$ получится при выборе $ \ov x_i=x_i$ (наибольшее значения принимается в правом конце отрезка $ [x_{i-1};x_i]$ ). Получаем, что

$\displaystyle \ul S\leqslant \wt S(\Xi)\leqslant \ov S,$

где $ \Xi$  -- размеченное разбиение, полученное из $ X$ любым выбором точек разметки $ \ov x_i$ . Интегрируемость функции $ f$ будет доказана, если мы покажем, что $ \ul S$ и $ \ov S$ имеют один и тот же предел $ I$ при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0$ . Заметим, что при любом разбиении $ X$ величины $ \ul S$ ограничены сверху числом $ f(b)(b-a)$ , а величины $ \ov S$ ограничены снизу числом $ {f(a)(b-a)}$ , причём эти границы не зависят от выбора разбиения. Значит, существует точная верхняя грань $ \ul I=\sup\ul S$ и точная нижняя грань $ \ov I=\inf\ov S$ , причём из неравенства $ \ul S\leqslant \ov S$ следует, что $ \ul I\leqslant \ov I$ и

$\displaystyle \ov S-\ul S\geqslant \ov I-\ul I.$

Покажем, что разность $ \ov S-\ul S\leqslant {\varepsilon}$ , если $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)<{\delta}$ . Действительно, поскольку длины отрезков разбиения $ h_i$ меньше $ {\delta}$ ,

$\displaystyle \ov S-\ul S=\sum_{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1}))h_i\leqslant \sum_{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1})){\delta}= {\delta}\sum_{i=1}^n(f(x_i)-f(x_{i-1}))=$   
$\displaystyle ={\delta}(f(b)-f(a))=\frac{{\varepsilon}}{f(b)-f(a)}(f(b)-f(a))={\varepsilon}.$   

Получили, тем самым, что $ \ov I-\ul I\leqslant {\varepsilon}$ . Так как в качестве $ {\varepsilon}$ мы можем выбрать как угодно малое число, а разность $ \ov I-\ul I$ от разбиения (и, следовательно, от выбора $ {\varepsilon}$ ) не зависит, то $ \ov I-\ul I=0$ , то есть $ \ov I=\ul I=I$ . Так как $ 0\leqslant \ov S-I\leqslant {\varepsilon}$ и $ 0\leqslant I-\ul S\leqslant {\varepsilon}$ , то при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0$ будет $ \ov S\to I$ и $ \ul S\to I$ . По теореме "о двух милиционерах" тогда и $ \lim\limits_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\wt S(\Xi)=I$ , что означает интегрируемость функции $ f$ .     

Можно указать также класс функций, ни одна из которых не может быть интегрируемой на отрезке $ [a;b]$ . А именно, имеет место следующее утверждение:

        Теорема 3.5   Пусть функция $ f(x)$ не ограничена на отрезке $ [a;b]$ . Тогда эта функция $ f(x)$ не может быть интегрируемой на $ [a;b]$ , то есть не существует предела интегральных сумм для функции $ f(x)$ при условии $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ . Иными словами, если функция интегрируема, то она ограничена.

        Доказательство.     Фиксируем любое разбиение $ X$ с произвольным диаметром $ d=\mathop{\rm diam}\nolimits (X)$ . Поскольку функция $ f(x)$ не ограничена на отрезке $ [a;b]$ , то она не ограничена хотя бы на одном из отрезков разбиения $ [x_{i_0-1};x_{i_0}]$ . Предположим, что функция не ограничена на этом отрезке сверху (случай неограниченности снизу разбирается совершенно аналогично), и покажем, что тогда интегральную сумму, соответствующую этому разбиению, можно сделать как угодно большой лишь за счёт выбора точки разметки, лежащей на отрезке $ [x_{i_0-1};x_{i_0}]$ . Выберем точки разметки $ \ov x_i$ , лежащие на прочих отрезках разбиения, то есть при $ i\ne i_0$ , и зафиксируем. Тогда эти фиксированные отрезки и точки разметки дадут некоторый фиксированный вклад в интегральную сумму, равный $ s=\sum\limits_{i\ne i_0}f(\ov x_i)h_i.$ Поскольку на оставшемся отрезке деления с номером $ i_0$ и фиксированной длиной $ h_{i_0}$ функция $ f$ неограничена сверху, то для любого, как угодно большого числа $ M$ можно найти такую точку $ \ov x_{i_0}\in[x_{i_0-1};x_{i_0}]$ , что

$\displaystyle s+f(\ov x_{i_0})h_{i_0}>M,$

достаточно взять такую точку $ \ov x_{i_0}$ , что значение функции в ней превышает $ \frac{M-s}{h_{i_0}}$ . Следовательно, при любом, как угодно малом, значении диаметра размеченного разбиения $ \Xi=(X,\ov X)$ , мы можем найти такое размеченное разбиение $ \Xi$ , что интегральная сумма $ \wt S(\Xi)$ , ему соответствующая, будет как угодно велика. Значит, величина $ \wt S(\Xi)$ не ограничена ни на каком окончании $ E_{{\delta}}$ базы $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ и поэтому не может иметь никакого предела при этой базе (как мы знаем, все величины, имеющие предел, локально ограничены при данной базе). Поскольку предела интегральных сумм нет, функция $ f(x)$ не интегрируема на отрезке $ [a;b]$ , что и требовалось доказать.     

Среди каналов ввода-вывода выделяли мультиплексные каналы Производная и дифференциал. Исследование функций. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Исраэль Роберт Джон Ауманн (англ. Yisrael Robert John Aumann , родился 8 июня 1930, Франкфурт-на-Майне) — израильский математик, лауреат Нобелевской премии по экономике 2005 г. «За расширение понимания проблем конфликта и кооперации с помощью анализа в рамках теории игр». математик, профессор Еврейского университета в Иерусалиме. Корни уравнения

Родился в Германии, но его семья вынуждена была эмигрировать в США. Вырос в Нью-Йорке, закончил Нью-йоркский Сити-колледж и Массачусетский технологический институт, где защитил докторскую диссертацию по математике. В 1956 году репатриировался в Израиль. После приезда работает в Еврейском университете, живёт и работает в Иерусалиме. Потенциал электpостатического поля. Электpостатика лекции и конспекты по физике До самого своего выхода на пенсию работает профессором при Центре рациональных исследований в Еврейском университете. В 1994 году профессор Ауман был награждён премией Израиля по экономике вместе с профессором Михаэлем Бруно.

Операционное исчисление Примеры решения задач математика

коммутационные схемы Перечень команд AutoCAD ; Метод суперпозиции