Задачник по математике существуют функции, локально ограниченные при некоторой базе

Пример 2.12 Приведём пример, показывающий, что обратное к теореме 2.6 утверждение неверно, то есть что существуют функции, локально ограниченные при некоторой базе, однако не имеющие предела при этой базе. Рассмотрим функцию $f(x)=\sin x$ и базу $x\to+\infty$ . Локальная ограниченность функции очевидна: можно взять постоянную и окончание базы $E=(0;+\infty)$ , тогда $\vert f(x)\vert=\vert\sin x\vert\leqslant K=1$ при всех $x\in E=(0;+\infty)$ . Однако $\sin x$ не имеет предела при $x\to+\infty$ : какое бы окончание $(a;+\infty)$ ни взять, при $x\in(a;+\infty)$ значения $\sin x$ многократно изменяются от до 1 и назад и не приближаются ни к какому постоянному значению. (В качестве упражнения проведите строгое доказательство того, что предел $\lim\limits_{x\to+\infty}\sin x$ не существует: докажите, что при ${\varepsilon}<1$ нельзя указать окончания базы $E_{{\varepsilon}}=(a_{{\varepsilon}};+\infty)$ , при всех из которого при некотором выполнялось бы неравенство $\vert\sin x-L\vert<{\varepsilon}$ . Такое окончание $E_{{\varepsilon}}$ должно было бы существовать по определению предела, если бы предел существовал.)
Поскольку предела $\sin x$ при $x\to+\infty$ не существует, то если сделать замену $t=\dfrac{1}{x}$ , получится, что предел $\lim\limits_{t\to0+}\sin\frac{1}{t}$ также не существует. График функции $\sin\frac{1}{x}$ представлен на следующем рисунке.

Рис.2.18.График $y=\sin\frac{1}{x}$

График совершает бесконечно много колебаний при подходе к 0. Размах каждого колебания остаётся один и тот же, от до 1. Значения, равные 1, функция принимает в точках вида $\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+2k\pi}$ , $k\in\mathbb{Z}$ , значения, равные ,-- в точках вида $\dfrac{1}{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}$ , $k\in\mathbb{Z}$ , а значения, равные 0,-- в точках вида $\dfrac{1}{k\pi}$ , $k\in\mathbb{Z}$ .
Докажем теперь теорему о взаимосвязи локально ограниченных и бесконечно малых величин.

Теорема 2.7 Пусть $\mathcal{B}$ -- база, функция локально ограничена, а функция ${\alpha}(x)$ бесконечно мала при этой базе. Тогда их произведение ${\beta}(x)=f(x){\alpha}(x)$ -- бесконечно малая при базе $\mathcal{B}$ .
Доказательство. Так как локально ограничена при базе $\mathcal{B}$ , то $\vert f(x)\vert\leqslant K$ при некотором и всех из некоторого окончания базы $\mathcal{B}$ . Фиксируем произвольное число ${\varepsilon}>0$ и рассмотрим положительное число ${\varepsilon}_1=\dfrac{{\varepsilon}}{K}$ . Так как ${\alpha}(x)$ -- бесконечно малая при базе $\mathcal{B}$ , то найдётся такое окончание $E_1\in\mathcal{B}$ , что при всех $x\in E_1$ выполняется неравенство $\vert{\alpha}(x)\vert<{\varepsilon}_1=\dfrac{{\varepsilon}}{K}$ . Рассмотрим теперь некоторое окончание $E_2\sbs E_0\cap E_1$ . (Такое окончание существует по определению базы.) Так как -- часть как , так и , то при $x\in E_2$ выполняются одновременно неравенства $\vert f(x)\vert\leqslant K$ и $\vert{\alpha}(x)\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{K}$ , из которых следует, что $\vert f(x){\alpha}(x)\vert=\vert f(x)\vert\cdot\vert{\alpha}(x)\vert<K\dfrac{{\varepsilon}}{K}={\varepsilon}$ при всех $x\in E_2$ . Так как число ${\varepsilon}>0$ было выбрано произвольно, это означает, что функция ${\beta}(x)=f(x){\alpha}(x)$ является бесконечно малой при базе $\mathcal{B}$ .

Пример 2.13 Пусть ${\alpha}(x)=\dfrac{1}{x}$ и $f(x)=\sin x$ . Так как ${\alpha}(x)$ бесконечно мала, а локально ограничена при базе $x\to\pm\infty$ , то их произведение $\dfrac{1}{x}\cdot\sin x=\dfrac{\sin x}{x}$ -- бесконечно малая при $x\to\pm\infty$ , а также при $x\to+\infty$ и при $x\to-\infty$ (см.упражнение 2.4).

Рис.2.19.График $y=\dfrac{\sin x}{x}$

Пример 2.14 В предыдущем примере сделаем замену $t=\frac{1}{x}$ . Тогда, очевидно, функция $\dfrac{\sin x}{x}$ перейдёт в функцию $t\sin\frac{1}{t}$ , а базы $x\to\pm\infty$ , $x\to+\infty$ и $x\to-\infty$ , соответственно, в базы $t\to0$ , $t\to0+$ и $t\to0-$ . Значение предела $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0$ при замене не изменится, так что $\lim\limits_{t\to0}t\sin\frac{1}{t}=0.$

Рис.2.20.График функции $t\sin\dfrac{1}{t}$

Следствие 2.2 Пусть -- постоянная и ${\alpha}(x)$ -- бесконечно малая при базе $\mathcal{B}$ . Тогда $C{\alpha}(x)$ -- тоже бесконечно малая при базе $\mathcal{B}$ .
Доказательство. Достаточно заметить, что локально ограничена при базе $\mathcal{B}$ и сослаться на предыдущую теорему.

Следствие 2.3 Пусть ${\alpha}_1(x),{\alpha}_2(x),\dots,{\alpha}_n(x)$ -- бесконечно малые при базе $\mathcal{B}$ и $C_1,C_2,\dots,C_n$ -- произвольные постоянные. Тогда величина вида
$\displaystyle {\beta}(x)=C_1{\alpha}_1(x)+C_2{\alpha}_2(x)+\ldots+C_n{\alpha}_n(x)$
является бесконечно малой при базе $\mathcal{B}$ .
Доказательство. Чтобы доказать это следствие, достаточно заметить, что все слагаемые являются бесконечно малыми, согласно предыдущему следствию, а затем применить утверждение следствия 2.1.

Замечание 2.1 Утверждение доказанного следствия, с алгебраической точки зрения, означает, что множество $\mathcal{L}^0_{\mathcal{B}}$ всех функций, определённых на некотором фиксированном окончании базы $\mathcal{B}$ и бесконечно малых при этой базе $\mathcal{B}$ , имеет структуру линейного пространства: любые элементы этого пространства можно умножать на постоянные и складывать, не выходя за рамки этого пространства.
  Теорема 3.2 Пусть функция интегрируема на отрезке . Тогда пределы верхней и нижней интегральных сумм, составленных для этой функции на отрезке , существуют и равны определённому интегралу:
$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\ul S(X)= \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\ov S(X)=\int_a^bf(x)\;dx.$
        Доказательство.     Доказательство этого утверждения несколько более сложно, чем предыдущей теоремы; дадим его набросок.
Как для верхней, так и для нижней интегральной суммы, соответствующей разбиению , можно указать такие точки разметки $\ov x_i$ (при том же самом разбиении ), что получающаяся интегральная сумма со значениями функции в этих точках $\ov x_i$ будет произвольно мало (скажем, меньше, чем на $\frac{{\varepsilon}}{2}$ ) отличаться от верхней (или нижней) интегральной суммы, а при достаточно мелком разбиении она мало отличается и от значения интеграла (тоже, скажем, меньше, чем на $\frac{{\varepsilon}}{2}$ . Следовательно, как угодно мало (меньше, чем на ${\varepsilon}$ ) отличается от значения интеграла и верхняя (или нижняя) интегральная сумма; это говорит о том, что верхняя (нижняя) интегральная сумма стремится к при неограниченном измельчении разбиения.

Кроме того, мы можем теперь сформулировать такую теорему:

        Теорема 3.3 Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке, то есть существует число
$\displaystyle I=\int_a^bf(x)\;dx.$
        Доказательство.     Доказательство, по сути дела, было приведено выше, при построении интегральных сумм, соответствующих значениям $f(\ov x_i)=\ul y_i$ и $f(\ov{\ov x}_i)=\ov y_i$ . Для строгости доказательства нужно лишь заметить, что при переходе ко всё более мелким разбиениям путём добавления новых точек деления нижние интегральные суммы $\ul S(\Xi)=\sum\limits_{i=1}^n\ul y_ih_i$ не убывают и ограничены сверху значением любой из верхних интегральных сумм $\ov S(\Xi)=\sum\limits_{i=1}^n\ov y_ih_i$ ; аналогично, верхние интегральные суммы $\ov S(\Xi)$ не возрастают при измельчении разбиения и ограничены снизу значением любой нижней интегральной суммы $\ul S(\Xi)$ . Поэтому для доказательства существования предела достаточно теперь сослаться на теорему о существовании предела монотонной ограниченной функции, которая была изучена в первом семестре.

Проверим, что данное нами определение площади криволинейной трапеции не противоречит формуле, задающей площадь обычной трапеции. Обычная трапеция получается, если функция -- линейна: . Это непрерывная на любом отрезке функция, так что интеграл, задающий площадь под графиком, существует:
$\displaystyle S=\int_a^bf(x)\;dx= \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)(x_i-x_{i-1}).$
Возьмём следующее размеченное разбиение с произвольно малым диаметром. Разобьём отрезок на равных частей, длина каждой из которых будет $\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)=\frac{b-a}{n}$ , а в качестве точек разметки возьмём середину соответствующего отрезка, то есть положим $\ov x_i=\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_i)$ . тогда величина $\wt S_i$ будет в точности равна площади (см. рис.):
Рис.3.3.

Значит, соответствующая этому размеченному разбиению интегральная сумма будет в точности равна площади трапеции . Поскольку мы можем взять диаметр такого разбиения произвольно малым (увеличивая ), то предел для произвольных разбиений не может давать иного, кроме , значения. Тем самым мы доказали корректность определения площади криволинейной трапеции

Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказ
Теория представления знаний Степенная функция Показательная функция Логарифмическая Арифметическая прогрессии пределы Формула Тейлора Обратная матрица комплексные чисела координатные плоскости Метод Ньютона Нахождение точки пересечения прямой и плоскости Дифференциал Производная Правило Лопиталя Проекции вектора Функции и их графики Интегрирование по частям Дискретные по уровню или квантованные сигналы