Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Пример 2.12 Приведём пример, показывающий, что обратное к теореме 2.6 утверждение неверно, то есть что существуют функции, локально ограниченные при некоторой базе, однако не имеющие предела при этой базе. Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x$ и базу $ x\to+\infty$. Локальная ограниченность функции очевидна: можно взять постоянную $ K=1$ и окончание базы $ E=(0;+\infty)$, тогда $ \vert f(x)\vert=\vert\sin x\vert\leqslant K=1$ при всех $ x\in E=(0;+\infty)$. Однако $ \sin x$ не имеет предела при $ x\to+\infty$: какое бы окончание $ (a;+\infty)$ ни взять, при $ x\in(a;+\infty)$ значения $ \sin x$ многократно изменяются от $ -1$ до 1 и назад и не приближаются ни к какому постоянному значению. (В качестве упражнения проведите строгое доказательство того, что предел $ \lim\limits_{x\to+\infty}\sin x$ не существует: докажите, что при $ {\varepsilon}<1$ нельзя указать окончания базы $ E_{{\varepsilon}}=(a_{{\varepsilon}};+\infty)$, при всех $ x$ из которого при некотором $ L$ выполнялось бы неравенство $ \vert\sin x-L\vert<{\varepsilon}$. Такое окончание $ E_{{\varepsilon}}$ должно было бы существовать по определению предела, если бы предел существовал.)
Поскольку предела $ \sin x$ при $ x\to+\infty$ не существует, то если сделать замену $ t=\dfrac{1}{x}$, получится, что предел $ \lim\limits_{t\to0+}\sin\frac{1}{t}$ также не существует. График функции $ \sin\frac{1}{x}$ представлен на следующем рисунке.
Рис.2.18.График $ y=\sin\frac{1}{x}$


График совершает бесконечно много колебаний при подходе $ x$ к 0. Размах каждого колебания остаётся один и тот же, от $ -1$ до 1. Значения, равные 1, функция принимает в точках вида $ \dfrac{1}{\frac{\pi}{2}+2k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$, значения, равные $ -1$,-- в точках вида $ \dfrac{1}{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$, а значения, равные 0,-- в точках вида $ \dfrac{1}{k\pi}$, $ k\in\mathbb{Z}$.

Докажем теперь теорему о взаимосвязи локально ограниченных и бесконечно малых величин.

Теорема 2.7 Пусть $ \mathcal{B}$-- база, функция $ f(x)$ локально ограничена, а функция $ {\alpha}(x)$ бесконечно мала при этой базе. Тогда их произведение $ {\beta}(x)=f(x){\alpha}(x)$-- бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$.

Доказательство. Так как $ f(x)$ локально ограничена при базе $ \mathcal{B}$, то $ \vert f(x)\vert\leqslant K$ при некотором $ K>0$ и всех $ x$ из некоторого окончания $ E_0$ базы $ \mathcal{B}$. Фиксируем произвольное число $ {\varepsilon}>0$ и рассмотрим положительное число $ {\varepsilon}_1=\dfrac{{\varepsilon}}{K}$. Так как $ {\alpha}(x)$-- бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$, то найдётся такое окончание $ E_1\in\mathcal{B}$, что при всех $ x\in E_1$ выполняется неравенство $ \vert{\alpha}(x)\vert<{\varepsilon}_1=\dfrac{{\varepsilon}}{K}$. Рассмотрим теперь некоторое окончание $ E_2\sbs E_0\cap E_1$. (Такое окончание существует по определению базы.) Так как $ E_2$-- часть как $ E_0$, так и $ E_1$, то при $ x\in E_2$ выполняются одновременно неравенства $ \vert f(x)\vert\leqslant K$ и $ \vert{\alpha}(x)\vert<\dfrac{{\varepsilon}}{K}$, из которых следует, что $ \vert f(x){\alpha}(x)\vert=\vert f(x)\vert\cdot\vert{\alpha}(x)\vert<K\dfrac{{\varepsilon}}{K}={\varepsilon}$ при всех $ x\in E_2$. Так как число $ {\varepsilon}>0$ было выбрано произвольно, это означает, что функция $ {\beta}(x)=f(x){\alpha}(x)$ является бесконечно малой при базе $ \mathcal{B}$.

Пример 2.13 Пусть $ {\alpha}(x)=\dfrac{1}{x}$ и $ f(x)=\sin x$. Так как $ {\alpha}(x)$ бесконечно мала, а $ f(x)$ локально ограничена при базе $ x\to\pm\infty$, то их произведение $ \dfrac{1}{x}\cdot\sin x=\dfrac{\sin x}{x}$-- бесконечно малая при $ x\to\pm\infty$, а также при $ x\to+\infty$ и при $ x\to-\infty$ (см.упражнение 2.4).
Рис.2.19.График $ y=\dfrac{\sin x}{x}$


Пример 2.14 В предыдущем примере сделаем замену $ t=\frac{1}{x}$. Тогда, очевидно, функция $ \dfrac{\sin x}{x}$ перейдёт в функцию $ t\sin\frac{1}{t}$, а базы $ x\to\pm\infty$, $ x\to+\infty$ и $ x\to-\infty$, соответственно, в базы $ t\to0$, $ t\to0+$ и $ t\to0-$. Значение предела $ \lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0$ при замене не изменится, так что $ \lim\limits_{t\to0}t\sin\frac{1}{t}=0.$
Рис.2.20.График функции $ t\sin\dfrac{1}{t}$


Следствие 2.2 Пусть $ C$-- постоянная и $ {\alpha}(x)$-- бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$. Тогда $ C{\alpha}(x)$-- тоже бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$.

Доказательство. Достаточно заметить, что $ C$ локально ограничена при базе $ \mathcal{B}$ и сослаться на предыдущую теорему.

Следствие 2.3 Пусть $ {\alpha}_1(x),{\alpha}_2(x),\dots,{\alpha}_n(x)$-- бесконечно малые при базе $ \mathcal{B}$ и $ C_1,C_2,\dots,C_n$-- произвольные постоянные. Тогда величина вида
$\displaystyle {\beta}(x)=C_1{\alpha}_1(x)+C_2{\alpha}_2(x)+\ldots+C_n{\alpha}_n(x)$
является бесконечно малой при базе $ \mathcal{B}$.

Доказательство. Чтобы доказать это следствие, достаточно заметить, что все слагаемые являются бесконечно малыми, согласно предыдущему следствию, а затем применить утверждение следствия 2.1.

Замечание 2.1 Утверждение доказанного следствия, с алгебраической точки зрения, означает, что множество $ \mathcal{L}^0_{\mathcal{B}}$ всех функций, определённых на некотором фиксированном окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и бесконечно малых при этой базе $ \mathcal{B}$, имеет структуру линейного пространства: любые элементы этого пространства можно умножать на постоянные и складывать, не выходя за рамки этого пространства.
  Теорема 3.2   Пусть функция $ f(x)$ интегрируема на отрезке $ [a;b]$ . Тогда пределы верхней и нижней интегральных сумм, составленных для этой функции на отрезке $ [a;b]$ , существуют и равны определённому интегралу:

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\ul S(X)= \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (X)\to0}\ov S(X)=\int_a^bf(x)\;dx.$

        Доказательство.     Доказательство этого утверждения несколько более сложно, чем предыдущей теоремы; дадим его набросок.

Как для верхней, так и для нижней интегральной суммы, соответствующей разбиению $ X$ , можно указать такие точки разметки $ \ov x_i$ (при том же самом разбиении $ X$ ), что получающаяся интегральная сумма со значениями функции в этих точках $ \ov x_i$ будет произвольно мало (скажем, меньше, чем на $ \frac{{\varepsilon}}{2}$ ) отличаться от верхней (или нижней) интегральной суммы, а при достаточно мелком разбиении она мало отличается и от значения интеграла $ I$ (тоже, скажем, меньше, чем на $ \frac{{\varepsilon}}{2}$ . Следовательно, как угодно мало (меньше, чем на $ {\varepsilon}$ ) отличается от значения интеграла и верхняя (или нижняя) интегральная сумма; это говорит о том, что верхняя (нижняя) интегральная сумма стремится к $ I$ при неограниченном измельчении разбиения.     

Кроме того, мы можем теперь сформулировать такую теорему:

        Теорема 3.3   Если функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$ , то она интегрируема на этом отрезке, то есть существует число

$\displaystyle I=\int_a^bf(x)\;dx.$

        Доказательство.     Доказательство, по сути дела, было приведено выше, при построении интегральных сумм, соответствующих значениям $ f(\ov x_i)=\ul y_i$ и $ f(\ov{\ov x}_i)=\ov y_i$ . Для строгости доказательства нужно лишь заметить, что при переходе ко всё более мелким разбиениям путём добавления новых точек деления $ x_i$ нижние интегральные суммы $ \ul S(\Xi)=\sum\limits_{i=1}^n\ul y_ih_i$ не убывают и ограничены сверху значением любой из верхних интегральных сумм $ \ov S(\Xi)=\sum\limits_{i=1}^n\ov y_ih_i$ ; аналогично, верхние интегральные суммы $ \ov S(\Xi)$ не возрастают при измельчении разбиения и ограничены снизу значением любой нижней интегральной суммы $ \ul S(\Xi)$ . Поэтому для доказательства существования предела достаточно теперь сослаться на теорему о существовании предела монотонной ограниченной функции, которая была изучена в первом семестре.     

Проверим, что данное нами определение площади криволинейной трапеции не противоречит формуле, задающей площадь обычной трапеции. Обычная трапеция получается, если функция $ f(x)$  -- линейна: $ f(x)=kx+c$ . Это непрерывная на любом отрезке $ [a;b]$ функция, так что интеграл, задающий площадь $ S$ под графиком, существует:

$\displaystyle S=\int_a^bf(x)\;dx= \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)(x_i-x_{i-1}).$

Возьмём следующее размеченное разбиение с произвольно малым диаметром. Разобьём отрезок $ [a;b]$ на $ n$ равных частей, длина каждой из которых будет $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)=\frac{b-a}{n}$ , а в качестве точек разметки возьмём середину соответствующего отрезка, то есть положим $ \ov x_i=\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_i)$ . тогда величина $ \wt S_i$ будет в точности равна площади $ S_i$ (см. рис.):

Рис.3.3.



Значит, соответствующая этому размеченному разбиению интегральная сумма будет в точности равна площади трапеции $ S$ . Поскольку мы можем взять диаметр такого разбиения произвольно малым (увеличивая $ n$ ), то предел для произвольных разбиений не может давать иного, кроме $ S$ , значения. Тем самым мы доказали корректность определения площади криволинейной трапеции

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

  Интегралы вида R (sin x, cos x) dx, где в общем случае R – рациональная функция, приводятся к интегралам отрицательных функций с помощью универсальной подстановки .

.

.

x = 2arctg t .

 Обратим внимание, что применение подстановки tg(x/2) = t возможно только на промежутках, не содержащих точек вида 2kp, k Î Z. В дальнейшем это подразумевается.

  Пример 1.

.

  Подстановка t = tg(x/2), являющаяся универсальной для интегралов от рациональных выражений, содержащих функции sin x и cos x, приводит иногда к довольно сложным выкладкам. Ниже рассматриваются некоторые случаи, когда подынтегральная функция приводится к рациональной дроби более простым способом.

I. Если R (–sin x, cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка cos x = t.

II. Если R (sin x, –cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка sin x = t.

III. Если R (–sin x, –cos x) = R (sin x, cos x), то применяется подстановка tg x = t.

Математический анализ Типовые расчеты по математике