Пример 2.12 Приведём пример, показывающий, что обратное к теореме 2.6 утверждение неверно, то есть что существуют функции, локально ограниченные при некоторой базе, однако не имеющие предела при этой базе. Рассмотрим функциюи базу
. Локальная ограниченность функции очевидна: можно взять постоянную
и окончание базы
, тогда
при всех
. Однако
не имеет предела при
: какое бы окончание
ни взять, при
значения
многократно изменяются от
до 1 и назад и не приближаются ни к какому постоянному значению. (В качестве упражнения проведите строгое доказательство того, что предел
не существует: докажите, что при
нельзя указать окончания базы
, при всех
из которого при некотором
выполнялось бы неравенство
. Такое окончание
должно было бы существовать по определению предела, если бы предел существовал.)
Поскольку пределапри
не существует, то если сделать замену
, получится, что предел
также не существует. График функции
представлен на следующем рисунке.
Рис.2.18.График![]()
График совершает бесконечно много колебаний при подходек 0. Размах каждого колебания остаётся один и тот же, от
до 1. Значения, равные 1, функция принимает в точках вида
,
, значения, равные
,-- в точках вида
,
, а значения, равные 0,-- в точках вида
,
.
Докажем теперь теорему о взаимосвязи локально ограниченных и бесконечно малых величин.
Теорема 2.7 Пусть-- база, функция
локально ограничена, а функция
бесконечно мала при этой базе. Тогда их произведение
-- бесконечно малая при базе
.
Доказательство. Так как
локально ограничена при базе
, то
при некотором
и всех
из некоторого окончания
базы
. Фиксируем произвольное число
и рассмотрим положительное число
. Так как
-- бесконечно малая при базе
, то найдётся такое окончание
, что при всех
выполняется неравенство
. Рассмотрим теперь некоторое окончание
. (Такое окончание существует по определению базы.) Так как
-- часть как
, так и
, то при
выполняются одновременно неравенства
и
, из которых следует, что
при всех
. Так как число
было выбрано произвольно, это означает, что функция
является бесконечно малой при базе
.
Пример 2.13 Пустьи
. Так как
бесконечно мала, а
локально ограничена при базе
, то их произведение
-- бесконечно малая при
, а также при
и при
(см.упражнение 2.4).
Рис.2.19.График![]()
Пример 2.14 В предыдущем примере сделаем замену. Тогда, очевидно, функция
перейдёт в функцию
, а базы
,
и
, соответственно, в базы
,
и
. Значение предела
при замене не изменится, так что
![]()
Рис.2.20.График функции![]()
Следствие 2.2 Пусть-- постоянная и
-- бесконечно малая при базе
. Тогда
-- тоже бесконечно малая при базе
.
Доказательство. Достаточно заметить, что
локально ограничена при базе
и сослаться на предыдущую теорему.
является бесконечно малой при базе.
Доказательство. Чтобы доказать это следствие, достаточно заметить, что все слагаемые являются бесконечно малыми, согласно предыдущему следствию, а затем применить утверждение следствия 2.1.
Замечание 2.1 Утверждение доказанного следствия, с алгебраической точки зрения, означает, что множествовсех функций, определённых на некотором фиксированном окончании
базы
и бесконечно малых при этой базе
, имеет структуру линейного пространства: любые элементы этого пространства можно умножать на постоянные и складывать, не выходя за рамки этого пространства.
Теорема 3.2 Пусть функцияинтегрируема на отрезке
. Тогда пределы верхней и нижней интегральных сумм, составленных для этой функции на отрезке
, существуют и равны определённому интегралу:
![]()
Доказательство. Доказательство этого утверждения несколько более сложно, чем предыдущей теоремы; дадим его набросок.
Как для верхней, так и для нижней интегральной суммы, соответствующей разбиению
, можно указать такие точки разметки
(при том же самом разбиении
), что получающаяся интегральная сумма со значениями функции в этих точках
будет произвольно мало (скажем, меньше, чем на
) отличаться от верхней (или нижней) интегральной суммы, а при достаточно мелком разбиении она мало отличается и от значения интеграла
(тоже, скажем, меньше, чем на
. Следовательно, как угодно мало (меньше, чем на
) отличается от значения интеграла и верхняя (или нижняя) интегральная сумма; это говорит о том, что верхняя (нижняя) интегральная сумма стремится к
при неограниченном измельчении разбиения.
Кроме того, мы можем теперь сформулировать такую теорему:
Теорема 3.3 Если функциянепрерывна на отрезке
, то она интегрируема на этом отрезке, то есть существует число
![]()
Доказательство. Доказательство, по сути дела, было приведено выше, при построении интегральных сумм, соответствующих значениям
и
. Для строгости доказательства нужно лишь заметить, что при переходе ко всё более мелким разбиениям путём добавления новых точек деления
нижние интегральные суммы
не убывают и ограничены сверху значением любой из верхних интегральных сумм
; аналогично, верхние интегральные суммы
не возрастают при измельчении разбиения и ограничены снизу значением любой нижней интегральной суммы
. Поэтому для доказательства существования предела достаточно теперь сослаться на теорему о существовании предела монотонной ограниченной функции, которая была изучена в первом семестре.
Проверим, что данное нами определение площади криволинейной трапеции не противоречит формуле, задающей площадь обычной трапеции. Обычная трапеция получается, если функция
-- линейна:
. Это непрерывная на любом отрезке
функция, так что интеграл, задающий площадь
под графиком, существует:
Возьмём следующее размеченное разбиение с произвольно малым диаметром. Разобьём отрезок![]()
на
равных частей, длина каждой из которых будет
, а в качестве точек разметки возьмём середину соответствующего отрезка, то есть положим
. тогда величина
будет в точности равна площади
(см. рис.):
Рис.3.3.
Значит, соответствующая этому размеченному разбиению интегральная сумма будет в точности равна площади трапеции. Поскольку мы можем взять диаметр такого разбиения произвольно малым (увеличивая
), то предел для произвольных разбиений не может давать иного, кроме
, значения. Тем самым мы доказали корректность определения площади криволинейной трапеции
Интегрирование некоторых тригонометрических функций
Интегралы вида R (sin x, cos x) dx, где в общем случае R – рациональная функция,
приводятся к интегралам отрицательных функций с помощью универсальной подстановки
.
.
.
x
= 2arctg t
.
Обратим внимание, что применение подстановки tg(x/2) = t возможно только на промежутках, не содержащих точек вида 2kp, k Î Z. В дальнейшем это подразумевается.
Пример 1.
![]()
.
Подстановка t = tg(x/2), являющаяся универсальной для интегралов от рациональных выражений, содержащих функции sin x и cos x, приводит иногда к довольно сложным выкладкам. Ниже рассматриваются некоторые случаи, когда подынтегральная функция приводится к рациональной дроби более простым способом.
I. Если R (–sin x, cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка cos x = t.
II. Если R (sin x, –cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка sin x = t.
III. Если R (–sin x, –cos x) = R (sin x, cos x), то применяется подстановка tg x = t.
| Математический анализ Типовые расчеты по математике |