Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


В этом случае находим точки пересечения плоскости с осями координат. Например, пусть требуется построить плоскость, заданную уравнением $ {2x+3y-z-6=0}$ . Находим точку пересечеия с осью $ Ox$ . На этой оси у любой точки вторая и третья координаты равны нулю: $ {y=0}$ , $ {z=0}$ . Из уравнения плоскости получаем $ {2x-6=0}$ , откуда $ {x=3}$ . Получили точку $ M_1(3;0;0)$ .

На оси $ Oy$ равны нулю первая и третья координаты: $ {x=0}$ , $ {z=0}$ . Значит, $ {3y-6=0}$ , то есть $ {y=2}$ . Получили точку $ M_2(0;2;0)$ . Аналогично на оси $ Oz$ находим точку $ M_3(0;0;-6)$ . Рисуем треугольник с вершинами $ M_1$ , $ M_2$ , $ M_3$  -- это и будет "изображение" плоскости $ {2x+3y-z-6=0}$ (рис. 11.2).

[an error occurred while processing this directive]

Рис.11.2.Все коэффициенты ненулевые


Еще раз подчеркнем, что плоскость тянется бесконечно во все стороны за нарисованные линии, ограничивающие треугольник.

 

Замечание 3.1   Заметим теперь, что если переопределить значение интегрируемой функции в одной или нескольких точках (в конечном числе точек), то она останется интегрируемой и значение определённого интеграла от неё не изменится.

Действительно, изменение значения в одной точке $ x_0$ либо вовсе не меняет интегральную сумму, либо изменяет одно её слагаемое, если $ x_0$ совпадает с одной из точек разметки $ \ov x_i$ . Но при измельчении разбиения, то есть при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ , вклад слагаемого $ f(\ov x_i)h_i$ , соответствующего отрезку, на котором лежит $ x_0$ , стремится к 0, так как $ h_i\to0$ . Значит, предел $ I=\lim\limits_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S(\Xi)$ не меняется. Если точек $ x_0$ , в которых изменяется значение функции, несколько, то их можно добавлять по одной, что и завершает доказательство утверждения.     

Выясним теперь некоторые общие свойства определённого интеграла $ \int_a^bf(x)\;dx$ . При этом будем предполагать, что функции, стоящие под знаком определённого интеграла, -- интегрируемые.

Линейность интеграла. Пусть $ f(x)$  -- интегрируемая на $ [a;b]$ функция. Докажем формулу, означающую, что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, а именно, что если $ k=\mathrm{const}$ , то функция $ kf(x)$ интегрируема на $ [a;b]$ и имеет место формула

$\displaystyle \int_a^bkf(x)\;dx=k\int_a^bf(x)\;dx.$

Действительно, если при фиксированном размеченном разбиении составить интегральную сумму $ \wt S_{kf}(\Xi)$ для функции $ kf(x)$ , значения которой в точках разметки равны $ kf(\ov x_i)$ , то можно будет вынести постоянный множитель $ k$ за знак конечной суммы по номеру отрезка $ i$ :

$\displaystyle \wt S_{kf}(\Xi)=\sum_{i=1}^nkf(\ov x_i)h_i=k\cdot \sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i=k\cdot\wt S_f(\Xi),$

где $ S_f(\Xi)$  -- интегральная сумма для функции $ f$ , вычисленная по тому же размеченному разбиению $ \Xi$ . При измельчении разбиения, то есть при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ , левая часть равенства даёт

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_{kf}(\Xi)=\int_a^bkf(x)\;dx,$

а правая часть --

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}k\wt S_{kf}(\Xi)= k\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_{kf}(\Xi)= k\int_a^bkf(x)\;dx,$

причём из существования предела в правой части следует существование предела в левой. Здесь мы воспользовались тем, что постоянный множитель можно выносить за знак предела. Поскольку при переходе к пределу равенство сохранится, мы получим доказываемую формулу.

Докажем теперь, что если $ f(x)$ и $ g(x)$  -- интегрируемые на $ [a;b]$ функции, то функция $ f(x)+g(x)$ тоже интегрируема и имеет место формула

$\displaystyle \int_a^b(f(x)+g(x))dx=\int_a^bf(x)\;dx+\int_a^bg(x)\;dx.$

Составим для данного размеченного разбиения $ \Xi$ интегральную сумму для функции $ f(x)+g(x)$ :

$\displaystyle \wt S_{f+g}(\Xi)=\sum_{i=1}^n(f(\ov x_i)+g(\ov x_i))h_i$

и очевидным образом преобразуем её, раскрыв скобки и переставив слагаемые:

$\displaystyle \wt S_{f+g}(\Xi)=\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i+\sum_{i=1}^ng(\ov x_i))h_i= \wt S_f(\Xi)+\wt S_g(\Xi),$

где $ \wt S_f$  -- интегральная сумма для функции $ f$ , а $ \wt S_g$  -- интегральная сумма для функции $ g$ , составленные по тому же размеченному разбиению $ \Xi$ . Теперь заметим, что равенство сохранится и после предельного перехода при базе $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ , а также что предел суммы равен сумме пределов, если пределы слагаемых существуют:

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_{f+g}(\Xi)= \li... ...to0} \wt S_f(\Xi)+ \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0} \wt S_g(\Xi).$

По условию, пределы в правой части существуют:

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_f(\Xi) =\int_a^... ...quad \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_g(\Xi)=\int_a^bf(x)\;dx.$

Поэтому существует и предел в левой части, причём он равен $ \int_a^bf(x)\;dx+\int_a^bf(x)\;dx.$ Осталось заметить, что, по определению, предел левой части даёт $ \int_a^b(f(x)+g(x))dx$ . Итак, получили, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от каждой из этих функций.

Из доказанных свойств интеграла следует, что если $ C_1$ и $ C_2$  -- постоянные, то

$\displaystyle \int_a^b(C_1f(x)+C_2g(x))dx=C_1\int_a^bf(x)\;dx+C_2\int_a^bg(x)\;dx.$

Эта формула означает, что операция вычисления определённого интеграла обладает свойством линейности.

Можно также отметить, что тем самым мы доказали, что множество всех интегрируемых на фиксированном отрезке функций является некоторым линейным пространством $ S_{[a;b]}$ , то есть операции умножения на постоянный множитель и сложения не выводят результирующую функцию из данного множества, а операция $ I:S_{[a;b]}\to\mathbb{R}$ , действующая на элементы $ f\in S_{[a;b]}$ по формуле $ I(f)=\int_a^bf(x)\;dx$  -- это линейная операция:

$\displaystyle I(C_1f+C_2g)=C_1I(f)+C_2I(g),$

где $ f,g\in S_{[a;b]}$  -- произвольные функции, а $ C_1,C_2$  -- постоянные.

Докажем теперь свойство определённого интеграла, называемое его аддитивностью. А именно, предположим, что функция $ f(x)$ интегрируема на отрезках $ [a;c]$ и $ [c;b]$ , где $ a<c<b$ . Тогда $ f(x)$ интегрируема на отрезке $ [a;b]$ , причём

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=\int_a^cf(x)\;dx+\int_c^bf(x)\;dx.$

Действительно, рассмотрим какое-либо размеченное разбиение отрезка $ [a;b]$ , содержащее в качестве одной из точек деления точку $ c=x_m$ . Тогда, очевидно, интегральная сумма $ \wt S$ для $ f$ по отрезку $ [a;b]$ представляется в виде

$\displaystyle \wt S=\sum_{i=1}^mf(\ov x_i)h_i+\sum_{i=m+1}^nf(\ov x_i)h_i,$

причём первая сумма,

$\displaystyle \wt S_1=\sum_{i=1}^mf(\ov x_i)h_i,$

является интегральной суммой для $ f$ по отрезку $ [a;c]$ , соответствующей размеченному разбиению $ \Xi_1$ , заданному точками $ x_1,\dots,x_{m-1}$ и $ \ov x_1,\dots,\ov x_m$ , а вторая,

$\displaystyle \wt S_2=\sum_{i=m+1}^nf(\ov x_i)h_i,$ --

интегральной суммой по отрезку $ [c;b]$ , соответствующей размеченному разбиению $ \Xi_2$ , заданному точками $ x_{m+1},\dots,x_{n-1}$ и $ \ov x_{m+1},\dots,\ov x_n$ . Заметим еще, что при $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_1)=\max\limits_{i=1,\dots,m}h_i\to0}$ и $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_2)=\max\limits_{i=m+1,\dots,n}h_i\to0}$ будет также $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)=\max\limits_{i=1,\dots,n}h_i\to0}$ , так как, очевидно, $ {\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)=\max\{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_1);\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_2)\}}$ . Так что при измельчении разбиений отрезков $ [a;c]$ и $ [c;b]$ разбиение отрезка $ [a;b]$ также будет измельчаться, и наоборот, из условия $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ следует, что $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_1)\to0$ и $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi_2)\to0$ . Поэтому

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx= \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt... ...iam}\nolimits (\Xi_2)\to0}\wt S_2(\Xi_2)= \int_a^cf(x)\;dx+ \int_c^bf(x)\;dx.$

 

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

  Интегралы вида R (sin x, cos x) dx, где в общем случае R – рациональная функция, приводятся к интегралам отрицательных функций с помощью универсальной подстановки .

.

.

x = 2arctg t .

 Обратим внимание, что применение подстановки tg(x/2) = t возможно только на промежутках, не содержащих точек вида 2kp, k Î Z. В дальнейшем это подразумевается.

  Пример 1.

.

  Подстановка t = tg(x/2), являющаяся универсальной для интегралов от рациональных выражений, содержащих функции sin x и cos x, приводит иногда к довольно сложным выкладкам. Ниже рассматриваются некоторые случаи, когда подынтегральная функция приводится к рациональной дроби более простым способом.

I. Если R (–sin x, cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка cos x = t.

II. Если R (sin x, –cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка sin x = t.

III. Если R (–sin x, –cos x) = R (sin x, cos x), то применяется подстановка tg x = t.

Математический анализ Типовые расчеты по математике