Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказ

Теория представления знаний Степенная функция Показательная функция Логарифмическая Арифметическая прогрессии пределы Формула Тейлора Обратная матрица комплексные чисела координатные плоскости Метод Ньютона Нахождение точки пересечения прямой и плоскости Дифференциал Производная Правило Лопиталя Проекции вектора Функции и их графики Интегрирование по частям Дискретные по уровню или квантованные сигналы

Замечание 2.3 Сделаем замечание, аналогичное замечанию 2.2: если существует предел произведения, то отсюда не следует, что существуют пределы каждого из сомножителей; доказанная теорема этого не утверждает. Приведём пример, который был уже разобран выше: функция при имеет предел, равный 0, однако предела при не существует (хотя другой множитель, , имеет предел при этой базе).

Следствие 2.4 Пусть и (то есть -- постоянная величина). Тогда существует предел функции , равный :

Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что, согласно примеру 2.4, , и применить теорему 2.9.

Доказанное следствие означает, что постоянный множитель можно выносить за знак предела, а также вносить под знак предела. Иными словами, умножение на постоянную и переход к пределу можно менять местами.

Следствие 2.5 Пусть функции имеют при базе пределы, равные соответственно , и -- постоянные. Тогда

Доказательство. Оно состоит в последовательном -кратном применении теоремы 2.8 к слагаемым , предел которых, согласно предыдущему следствию, равен .

В качестве частного случая можно рассмотреть предел разности двух функций. Разность можно представить в виде и применить следствие 2.5 к этой сумме из двух слагаемых. Получим тогда, что

то есть что разность (как и сумма) сохраняется при переходе к пределу.

Замечание 2.4 Утверждение следствия 2.5, с алгебраической точки зрения, означает, что, во-первых, множество всех функций, заданных на фиксированном окончании базы и имеющих предел при базе -- это линейное пространство, а во-вторых-- что операция взятия предела -- это линейное отображение линейного пространства в линейное пространство вещественных чисел . Попросту: переход к пределу сохраняет суммирование и умножение на постоянные.

Предел отношения двух функций , в отличие от суммы, разности и произведения, не обязательно равен отношению пределов числителя и знаменателя , даже если пределы и существуют. Дело в том, что предел знаменателя может равняться нулю, и отношение пределов тогда не имеет смысла, в то время как предел отношения при этом вполне может существовать. Приведём такой простейший пример:

 Определение. Если на плоскости задать конечное множество V точек и конечный набор линий Х, соединяющих некоторые пары из точек V, то полученная совокупность точек и линий будет называться графом.

 При этом элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Х – ребрами.

 В множестве V могут встречаться одинаковые элементы, ребра, соединяющие одинаковые элементы называются петлями. Одинаковые пары в множестве Х называются кратными (или параллельными) ребрами. Количество одинаковых пар

(v, w) в Х называется кратностью ребра (v, w).

 Множество V и набор Х определяют граф с кратными ребрами – псевдограф.

G = (V, X)

 Псевдограф без петель называется мультиграфом.

 Если в наборе Х ни одна пара не встречается более одного раза, то мультиграф называется графом.

 Если пары в наборе Х являются упорядочными, то граф называется ориентированным или орграфом.

 Графу соответствует геометрическая конфигурация. Вершины обозначаются точками (кружочками), а ребра – линиями, соединяющими соответствующие вершины.

 Определение. Если х = {v, w} – ребро графа, то вершины v, w называются концами ребра х.

 Если х = (v, w) – дуга орграфа, то вершина v – начало, а вершина w – конец дуги х.

 Определение. Вершины v, w  графа G = (V, X) называются смежными, если {v,w}ÎX. Два ребра называются смежными, если они имеют общюю вершину.

 Определение. Степенью вершины графа называется число ребер, которым эта вершина принадлежит. Вершина называется изолированной, если если ее степень равна единице и висячей, если ее степень равна нулю.

 Определение. Графы G₁(V₁, X₁) и G₂(V₂, X₂) называются изоморфмными, если существует взаимно однозначное отображение j: V₁ ® V₂, сохраняющее смежность.

 Определение. Маршрутом (путем) для графа G(V, X) называется последовательность v₁x₁v₂x₂v₃…x_kv_k+1. Маршрут называется замкнутым, если его начальная и конечная точки совпадают. Число ребер (дуг) маршрута (пути) графа называется длиной маршрута (пути).

 Определение. Незамкнутый маршрут (путь) называется цепью. Цепь, в которой все вершины попарно различны, называется простой цепью.

 Определение. Замкнутый маршрут (путь) называется циклом (контуром). Цикл, в котором все вершины попарно различны, называется простым циклом.

Среди каналов ввода-вывода выделяли мультиплексные каналы Производная и дифференциал. Исследование функций. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Исраэль Роберт Джон Ауманн (англ. Yisrael Robert John Aumann , родился 8 июня 1930, Франкфурт-на-Майне) — израильский математик, лауреат Нобелевской премии по экономике 2005 г. «За расширение понимания проблем конфликта и кооперации с помощью анализа в рамках теории игр». математик, профессор Еврейского университета в Иерусалиме. Корни уравнения

Родился в Германии, но его семья вынуждена была эмигрировать в США. Вырос в Нью-Йорке, закончил Нью-йоркский Сити-колледж и Массачусетский технологический институт, где защитил докторскую диссертацию по математике. В 1956 году репатриировался в Израиль. После приезда работает в Еврейском университете, живёт и работает в Иерусалиме. Потенциал электpостатического поля. Электpостатика лекции и конспекты по физике До самого своего выхода на пенсию работает профессором при Центре рациональных исследований в Еврейском университете. В 1994 году профессор Ауман был награждён премией Израиля по экономике вместе с профессором Михаэлем Бруно.

Операционное исчисление Примеры решения задач математика