Задачник по математике Предел строго положительной величины может оказаться равным

Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказ

дипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

Следствие 2.7 (переход к пределу в нестрогом неравенстве) Пусть при всех из некоторого окончания базы $\mathcal{B}$ выполняется неравенство ${f_1(x)\leqslant f_2(x)}$ . Предположим, что существуют пределы $\lim\limits_{\mathcal{B}}f_1(x)=L_1$ и $\lim\limits_{\mathcal{B}}f_2(x)=L_2$ . Тогда $L_1\leqslant L_2$ (то есть значения пределов связаны тем же нестрогим неравенством, что и функции). То же верно для нестрогого неравенства $\geqslant$ .

Доказательство. Рассмотрим функцию

. По условию теоремы, $g(x)\geqslant 0$ , причём

$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)= \lim\limits_{\mathcal{B}}f_1(x)-\lim\limits_{\mathcal{B}}f_2(x)=L_2-L_1.$

Применим к функции

теорему о пределе неотрицательной величины и получим, что $L_2-L_1\geqslant 0$ , то есть $L_2\geqslant L_1$ , что и требовалось доказать. Для другого нестрогого неравенства доказательство аналогично.

Замечание 2.6 Аналогичные утверждения для строгих неравенств (

) неверны. Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть предел $\lim\limits_{x\to0+}x$ . Очевидно, он равен 0, хотя при любом

из любого окончания $(0;{\delta})$ базы $x\to0+$ величина

строго положительна.

Рис.2.22.Предел строго положительной величины может оказаться равным 0

Напомним, что функция

называется не убывающей на множестве ${A\sbs\mathbb{R}}$ , если для любых ${x_1,x_2\in A}$ , таких что ${x_1<x_2}$ , выполняется неравенство ${f(x_1)\leqslant f(x_2)}$ , и невозрастающей на

, если при ${x_1,x_2\in A}$ и ${x_1<x_2}$ выполняется неравенство ${f(x_1)\geqslant f(x_2)}$ .

Теорема 2.13(о пределе монотонной функции) Пусть рассматривается одна из баз $n\to\infty$ , $x\to+\infty$ , $x\to x_0-$ , которую обозначим $\mathcal{B}$ . Пусть функция не убывает на некотором окончании базы $\mathcal{B}$ и ограничена сверху на этом окончании, то есть существует такая постоянная , что $f(x)\leqslant C$ при всех $x\in E$ . Тогда существует предел $\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$ , причём $L\leqslant C$ .

Рис.2.23.Предел неубывающей ограниченной сверху функции

Доказательство этой теоремы достаточно сложно; оно основывается на довольно тонких свойствах системы вещественных чисел, а именно, на том, что у ограниченного снизу множества чисел $\{C\}$ , где числа ограничивают функцию сверху, существует точная нижняя грань $L=\inf\{C\}$ ; она-то и будет пределом неубывающей функции.
Мы ограничимся здесь этим замечанием и поясняющим рисунком, а за подробным доказательством отошлём читателя к полному курсу математического анализа, например, книгам: Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 или С.М.Никольский, Курс математического анализа, т.1.
Имеют место также утверждения, получающиеся из теоремы о пределе монотонной функции сменой знака функции или заменой координаты :

Следствие 2.8 Пусть рассматривается одна из баз ${n\to\infty}$ , ${x\to+\infty}$ , ${x\to x_0-}$ , которую обозначим $\mathcal{B}$ . Пусть функция не возрастает на некотором окончании базы $\mathcal{B}$ и ограничена снизу на этом окончании, то есть существует такая постоянная, что ${f(x)\geqslant C}$ при всех ${x\in E}$ . Тогда существует предел ${\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L}$ , причём ${L\geqslant C}$ .

Рис.2.24.Предел невозрастающей ограниченной снизу функции

Следствие 2.9 Пусть рассматривается одна из баз $x\to-\infty$ , $x\to x_0+$ , которую обозначим $\mathcal{B}$ . Пусть функция не убывает на некотором окончании базы $\mathcal{B}$ и ограничена снизу на этом окончании, то есть существует такая постоянная , что $f(x)\geqslant C$ при всех $x\in E$ . Тогда существует предел $\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$ , причём $L\geqslant C$ .

Рис.2.25.Предел неубывающей ограниченной снизу функции

Следствие 2.10 Пусть рассматривается одна из баз ${x\to-\infty}$ , ${x\to x_0+}$ , которую обозначим $\mathcal{B}$ . Пусть функция не возрастает на некотором окончании базы и ограничена сверху на этом окончании, то есть существует такая постоянная, что ${f(x)\leqslant C}$ при всех ${x\in E}$ . Тогда существует предел ${\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L}$ , причём ${L\leqslant C}$ .

Рис.2.26.Предел невозрастающей ограниченной сверху функции

Первое направление является традиционным - применение ЭВМ для автоматизации вычислений Матрицы и определители Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Питер Барлоу (англ. Peter Barlow, 15 (?) октября 1776 — 1 марта 1862) — английский специалист по фундаментальной и прикладной математике. Барлоу родился в Норидже, точно известны только месяц и год его рождения. Пpоводники в электpостатическом поле. Электpостатика лекции и конспекты по физике В 1806 году в возрасте тридцати лет он был назначен преподавателем математики в Королевском военном училище в Вулидже (юго-восточный Лондон). На этом посту Барлоу работал 41 год. В 1823 он стал членом Королевского общества и двумя годами позже получил медаль Копли. Барлоу уделял много внимания паровозостроению и заседал в железнодорожных комиссиях в 1836, 1839, 1842 и 1845. Он также провел несколько расследований для вновь образованной Железнодорожной инспекции в начале 1840 гг. Кривые и поверхности

Его сыновья Питер Уильям Барлоу и Уильям Генри Барлоу стали выдающимися инженерами-строителями XIX века.

Преобразования Лапласа Примеры решения задач математика

коммутационные схемы Перечень команд AutoCAD ; Метод суперпозиции

Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказ
Теория представления знаний Степенная функция Показательная функция Логарифмическая Арифметическая прогрессии пределы Формула Тейлора Обратная матрица комплексные чисела координатные плоскости Метод Ньютона Нахождение точки пересечения прямой и плоскости Дифференциал Производная Правило Лопиталя Проекции вектора Функции и их графики Интегрирование по частям Дискретные по уровню или квантованные сигналы

Определение. Алгебраическим дополнение элемента называется число, равное .