Лекции и конспекты по математике Первым замечательным пределом называется предел

        Определение 2.11 Первым замечательным пределом называется предел
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}.$

        Теорема 2.14 Первый замечательный предел равен
$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1.$
        Доказательство.     Рассмотрим два односторонних предела $\lim\limits_{x\to0+}\dfrac{\sin x}{x}$ и $\lim\limits_{x\to0-}\dfrac{\sin x}{x}$ и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда по теореме 2.1 двусторонний предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}$ также будет равняться 1.
Итак, пусть $x\in(0;\frac{\pi}{2})$ (этот интервал -- одно из окончаний базы $x\to0+$ ). В тригонометрическом круге (радиуса ) с центром построим центральный угол, равный , и проведём вертикальную касательную в точке пересечения горизонтальной оси с окружностью ( $\vert OU\vert=1$ ). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона с окружностью буквой , а с вертикальной касательной -- буквой ; через обозначим проекцию точки на горизонтальную ось.

Рис.2.27.Тригонометрический круг
[an error occurred while processing this directive]

Пусть $S_{\triangle OUV}$ -- площадь треугольника , $S_{сек.OUV}$ -- площадь кругового сектора , а $S_{\triangle OUW}$ -- площадь треугольника . Тогда очевидно следующее неравенство:
$\displaystyle S_{\triangle OUV}<S_{сек.OUV}<S_{\triangle OUW}.$
Заметим, что горизонтальная координата точки равна $\vert OT\vert=\cos x$ , а вертикальная -- $h=\sin x$ (это высота треугольника ), так что $S_{\triangle OUV}=\frac{1}{2}\vert OU\vert h=\dfrac{\sin x}{2}$ . Площадь центрального сектора круга радиуса с центральным углом равна $\frac{1}{2}R^2x$ , так что $S_{сек.OUV}=\frac{1}{2}x$ . Из треугольника находим, что $\vert WU\vert=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ . Поэтому ${S_{\triangle OUW}=\frac{1}{2}\vert OU\vert\vert WU\vert=\dfrac{\mathop{\rm tg}\nolimits x}{2}.}$ Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде
$\displaystyle \frac{\sin x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\mathop{\rm tg}\nolimits x}{2}.$
Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:
$\displaystyle \frac{1}{\sin x}>\frac{1}{x}>\frac{1}{\mathop{\rm tg}\nolimits x}=\frac{\cos x}{\sin x},$
или (умножив на $\sin x$ ) так:
$\displaystyle \cos x<\frac{\sin x}{x}<1.$
Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при $x\to0+$ предел $\cos x$ в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части $\dfrac{\sin x}{x}$ также будет равен 1.
Итак, осталось доказать, что $\cos x\xrightarrow {x\to0+}1$ . Сперва заметим, что ${0<\sin x=h<\vert UV\vert<x}$ , так как равняется длине дуги окружности , которая, очевидно, длиннее хорды $\vert UV\vert$ . Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству
$\displaystyle 0<\sin x<x$
при $x\to0+$ , получаем, что

$\displaystyle \sin x\xrightarrow {x\to0+}0.$

(2.3)

[an error occurred while processing this directive]

Простая замена переменной $t=\dfrac{x}{2}$ показывает, что и $\sin\frac{x}{2}\xrightarrow {x\to0+}0$ . Теперь заметим, что $\cos x=1-2\sin^2\frac{x}{2}$ . Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:

$\displaystyle \lim_{x\to0+}\cos x= \lim_{x\to0+}(1-2\sin^2\frac{x}{2})= 1-\lim_{x\to0+}\sin\frac{x}{2}\cdot \lim_{x\to0+}\sin\frac{x}{2}=1-0\cdot0=1.$

(2.4)

Тем самым показано, что
$\displaystyle \lim_{x\to0+}\dfrac{\sin x}{x}=1.$
Сделаем теперь замену ; при этом база $x\to0+$ перейдёт в базу $t\to0-$ (что означает, что если $x\in(0;{\delta})$ , то $t=-x\in(-{\delta};0)$ ). Значит,
$\displaystyle \lim_{t\to0-}\dfrac{\sin(-t)}{-t}=1,$
но $\sin(-t)=-\sin t$ ( $\sin$ -- нечётная функция), и поэтому
$\displaystyle \lim_{t\to0-}\dfrac{\sin(-t)}{-t}=\lim_{t\to0-}\dfrac{\sin t}{t}=1.$
Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы.

Доказанная теорема означает, что график функции $y=\dfrac{\sin x}{x}$ выглядит так:

Рис.2.28.График $y=\dfrac{\sin x}{x}$

Приведём примеры применения первого замечательного предела для вычисления других родственных пределов.

3. Используя метод приведения к треугольному виду вычислить определитель из примера 2.
Решение. Воспользуемся видом определителя , который получился после процедуры зануления всех элементов (кроме первого) первой строки:
.
Далее с помощью второго столбца занулим элементы второй строки, кроме первых двух, для чего вычтем из третьего и четвёртого столбцов второй столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)

8
Наконец, вычтем третий столбец из четвёртого, в результате чего определитель сведётся к треугольному виду, величина которого равна произведению элементов главной

диогонали: .