Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказдипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

  Пример 2.18   Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\sin x}$.
Очевидно, что
$\displaystyle \frac{x}{\sin x}=\dfrac{1}{\dfrac{\sin x}{x}},$
при этом предел знаменателя $ \dfrac{\sin x}{x}$ -- это первый замечательный предел, равный 1 (и, следовательно, не равный 0). Числитель правой части, равный 1, имеет предел 1. Значит, по теореме о пределе отношения,
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\sin x}= \dfrac{\lim\limits_{x\to0}1}{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}}= \dfrac{1}{1}=1.$
    
        Пример 2.19   Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\arcsin x}$.
Сделаем замену переменного: пусть $ y=\arcsin x$. Тогда $ x=\sin y$ и база $ x\to0$ переходит в базу $ y\to0$. После замены получаем
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\arcsin x}= \lim\limits_{y\to0}\dfrac{\sin y}{y}=1.$
    
        Пример 2.20   Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arcsin x}{x}$.
Очевидно, что
$\displaystyle \frac{\arcsin x}{x}=\dfrac{1}{\dfrac{x}{\arcsin x}},$
при этом предел знаменателя $ \dfrac{x}{\arcsin x}$ был вычислен в предыдущем примере; он равен 1. Числитель правой части имеет предел 1. Применяя теорему о пределе отношения, получаем
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arcsin x}{x}= \dfrac{\lim\limits_{x\to0}1}{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\arcsin x}}= \dfrac{1}{1}=1.$
    
        Пример 2.21   Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}$.
Преобразуем функцию под знаком предела следующим образом:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}= \lim\limits_{x\to0} \left(\dfrac{\sin 2x}{2x}\cdot\dfrac{3x}{\sin 3x}\cdot\dfrac{2}{3}\right).$
Теперь вынесем постоянный множитель за знак предела и применим теорему о пределе произведения:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}= \dfrac{2}{3} \lim\... ...s_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{2x}\cdot \lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x}{\sin 3x}\cdot.$
(Чуть ниже мы увидим, что пределы сомножителей существуют, так что применять эту теорему здесь можно.) Заметим, что при заменах $ t=2x$ и $ y=3x$ база $ x\to0$ переходит в базу $ t\to0$ и $ y\to0$, так что
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{2x}= \lim\limits_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1$
и
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x}{\sin 3x}= \lim\limits_{y\to0}\dfrac{y}{\sin y}=1.$
Поэтому
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}= \dfrac{2}{3}\cdot1\cdot1=\dfrac{2}{3}.$
    
        Определение 2.12   Вторым замечательным пределом называется предел
$\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$
    

Число $ e$, заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число $ e$ часто называют основанием натуральных логарифмов.

   

В итоге собственный вектор, соответствующий , можно выбрать в виде

 .

Анологичная процедура для собственного вектора даёт:  

Откуда:

 .

После нормировки полученных векторов имеем:

 .

Эти векторы представляют собой ортонормированный базис новой системы координат. Матрица ортогонального оператора, приводящего квадратичную форму  к каноническому виду , есть

 

 Связь старых  и новых  координат определяется соотношением .

Учитывая приведенные выражения, приведём заданную квадратичную форму к каноническому виду 

Первое направление является традиционным - применение ЭВМ для автоматизации вычислений Матрицы и определители Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Питер Барлоу (англ. Peter Barlow, 15 (?) октября 1776 — 1 марта 1862) — английский специалист по фундаментальной и прикладной математике. Барлоу родился в Норидже, точно известны только месяц и год его рождения. Пpоводники в электpостатическом поле. Электpостатика лекции и конспекты по физике В 1806 году в возрасте тридцати лет он был назначен преподавателем математики в Королевском военном училище в Вулидже (юго-восточный Лондон). На этом посту Барлоу работал 41 год. В 1823 он стал членом Королевского общества и двумя годами позже получил медаль Копли. Барлоу уделял много внимания паровозостроению и заседал в железнодорожных комиссиях в 1836, 1839, 1842 и 1845. Он также провел несколько расследований для вновь образованной Железнодорожной инспекции в начале 1840 гг. Кривые и поверхности

Его сыновья Питер Уильям Барлоу и Уильям Генри Барлоу стали выдающимися инженерами-строителями XIX века.

Преобразования Лапласа Примеры решения задач математика