Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

В этом случае плоскость параллельна оси того переменного, которое в явном виде отсутствует в уравнении плоскости (коэффициент перед этим переменным равен нулю). Поясним это.

Пусть, например, коэффициент перед $ y$ равен нулю, то есть плоскость имеет уравнение $ {Ax+Cz+D=0}$ . Тогда ее нормальный вектор имеет координаты $ {{\bf n}=(A;0;C)}$ . На оси $ Oy$ (оси отсутствующего переменного) лежит вектор $ {{\bf j}=(0;1;0)}$ . Находим скалярное произведение этих векторов: $ {{\bf n}{\bf j}=A\cdot0+0\cdot1+C\cdot0=0}$ . Равенство нулю скалярного произведения означает, что ось $ Oy$ ортогональна нормальному вектору плоскости и, следовательно, сама параллельна исходной плоскости, что нам и требовалось.

Для изображения плоскости, в уравнении которой один из коэффициентов при неизвестных равен нулю, находим ее пересечение с непараллельными ей осями. Получившиеся две точки соединяем отрезком и через эти же две точки проводим прямые, параллельные оси осутствующего переменного. Построим, например, плоскость $ 2x+3y=6$ . Плоскость параллельна оси $ Oz$ . Находим точки пересечения с осями $ Ox$ и $ Oy$ . Получаем точки $ M_1(3;0;0)$ и $ M_2(0;2;0)$ . Чертим отрезок $ M_1M_2$ и прямые, проходящие через точки $ M_1$ и $ M_2$ и параллельные оси $ Oz$ (рис. 11.4).

Рис.11.4.Коэффициент при переменном $ z$ равен нулю

 

Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах

Площадь правильной области         в полярных координатах находится так:

    .

 

Вычисление объемов с применением двойного интеграла

Объем V тела, ограниченного поверхностью z = f(x,y). , где f(x,y) - неотрицательная функция, плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси ОZ, равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области D :

.

Интегрирование выражений, содержащих радикалы

  I. Интегрирование функций вида , где R – рациональная функция аргументов, m – натуральное число, а, b, g, d – некоторые константы.

 При интегрировании таких функций полагают , тогда х будет некоторая рациональная функция j(t) и интеграл запишется в виде:

,

где подынтегральная функция есть рациональная функция t.

 Пример 1. Вычислим

.

  Решение. Положим , тогда , т.е. dx = 2tdt.

.

Разлагая рациональную функцию в сумму простейших дробей, имеем

.

Математический анализ Типовые расчеты по математике