Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

  Пример 2.26   Примером отрицательной бесконечно большой при $ x\to0+$ может служить функция $ f(x)=\ln x$.
Рис.2.32.График $ y=\ln x$

В качестве упражнения найдите зависимость числа $ {\delta}>0$, задающего окончание $ (0;{\delta})$ базы $ x\to0+$, от числа $ N$.     

Связь бесконечно больших и бесконечно малых величин устанавливает следующая теорема.

        Теорема 2.16   Пусть $ f(x)$ -- функция, бесконечно большая при базе $ \mathcal{B}$. Тогда величина $ {\alpha}(x)=\dfrac{1}{f(x)}$ -- бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$.

        Доказательство.     Для начала заметим, что на всех достаточно далёких окончаниях $ E$ базы $ \mathcal{B}$ будет $ \vert f(x)\vert>N>0$, так что функция $ {\alpha}(x)$ определена на этих окончаниях. Далее, пусть взято некоторое $ {\varepsilon}>0$. Положим $ N=\dfrac{1}{{\varepsilon}}$ и выберем такое окончание $ E$, что $ \vert f(x)\vert>N=\dfrac{1}{{\varepsilon}}$ при $ x$ из этого окончания. Тогда $ \vert{\alpha}(x)\vert=\dfrac{1}{\vert f(x)\vert}<\dfrac{1}{N}={\varepsilon}$ при таких $ x$, что и означает, что $ {\alpha}(x)\xrightarrow {\mathcal{B}}0$.     

        Замечание 2.9   Утверждение, обратное к доказанной теореме, вообще говоря, неверно: если $ {\alpha}(x)$ -- бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$, то функция $ f(x)=\dfrac{1}{{\alpha}(x)}$ не всегда является бесконечно большой при базе $ \mathcal{B}$, хотя бы потому, что может быть не определена ни на каком окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$. Простейший пример -- это постоянная величина $ {\alpha}=0$, которая, очевидно, бесконечно мала при любой базе ( $ \lim\limits_{\mathcal{B}}0=0$), но $ \dfrac{1}{{\alpha}}$ не имеет смысла ни при каких $ x$. Однако если сделать дополнительное предположение, что $ {\alpha}(x)\ne0$ при всех $ x$ из некоторого окончания $ E$ базы $ \mathcal{B}$, то обратное утверждение становится верным.     
        Теорема 2.17   Пусть $ {\alpha}(x)$ -- такая бесконечно малая при базе $ \mathcal{B}$, что $ {\alpha}(x)\ne0$ при всех $ x$ из некоторого окончания базы $ \mathcal{B}$. Тогда функция $ f(x)=\dfrac{1}{{\alpha}(x)}$ -- бесконечно большая при базе $ \mathcal{B}$.    

Докажите эту теорему в качестве упражнения.

Утверждение, что некоторая функция $ f(x)$ является бесконечно большой положительной величиной при базе $ \mathcal{B}$ означает при вычислении пределов, что при замене $ y=f(x)$ база $ \mathcal{B}$ переходит в базу $ y\to+\infty$. Если же $ y=f(x)$ -- отрицательная бесконечно большая, то после замены получится база $ y\to-\infty$. Прослеживая за изменениями баз при последовательных заменах, можно вычислять многие пределы.

        Пример 2.27   Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0+}e^{-\frac{1}{x}}$.
Рассмотрим замену $ t=\dfrac{1}{x}$. При $ x\to0+$ будет $ t=\dfrac{1}{x}\to+\infty$. Пусть теперь $ z=-t$. При $ t\to+\infty$ будет $ z=-t\to-\infty$. Наконец, пусть $ y=e^z$. При $ z\to-\infty$ будет $ y=e^z\to0+$. (См. графики, расположенные ниже.) Последнее соотношение означает, что
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0+}e^{-\frac{1}{x}}=0$
(и что, вдобавок, величина $ y$ остаётся положительной).     

Рис.2.33.Графики зависимостей $ t=\dfrac{1}{x}$, $ z=-t$, $ y=e^z$

Заметим, что при решении было важно отследить изменение функций именно при $ x$, стремящемся к 0 справа. В качестве упражнения покажите, что если бы рассматривалась база $ x\to0-$, то получилась бы бесконечно большая положительная величина $ y=e^{-\frac{1}{x}}$, а при базе $ x\to0$ величина $ y$ не имеет никакого предела и не является бесконечно большой.

  

Системы координат в пространстве: декартовы, цилиндрические и сферические координаты

Декартова система координат в пространстве определяется точкой и базисом из трех векторов. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенныечерез начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. В трехмерном пространстве они называются осями абсцисс, ординат и аппликат. Оси координат являются числовыми осями с началом в точке O , положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора. Координатами точки M называются координаты вектора OM ( радиус–вектора) (см. рис. 1). Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.

Поверхностью 2–го порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат определяется уравнением

Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0

где A2 + B2 + C2 ≠ 0 .

Цилиндрические и сферические координаты определяются точкой O , исходящим из нее лучом l и единичным вектором →n , перпендикулярным l (рис. 2).

Проведем через точку O перпендикулярно вектору →n плоскость P и обозначим проекцию точки M на эту плоскость M' .

В цилиндрических координатах положение точки M определяется числами ρ , j и z , где ρ и j — полярные координаты точки M' , а z — проекция вектора OM на вектор →n .

Пусть точка O совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, луч l — с положительной частью оси абсцисс, а вектор →n — с положительной частью оси аппликат (рис. 3).

Декартовы координаты x , y и z точки M выражаются через ее цилиндрические координаты ρ , j и z по формулам

x = ρcosj,  y = ρsinj,  z = z.

В сферических координатах положениеточки M определяется числами ρ , j и θ , где ρ = |OM| , j — полярный угол точки M' , а θ — угол между векторами →n и OM .Мы будем отсчитывать угол θ от вектора →n по направлению к вектору OM . Угол θ принимает значения от 0 до π .

Пусть точка O совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, луч l — с положительной частью оси абсцисс, а вектор →n — с положительной частью оси аппликат (рис. 4), то

Декартовы координаты x , y и z точки M выражаются через ее сферические координаты ρ , j и θ по формулам

x = ρcosjsinθ,  y = ρsinjsinθ,  z = ρcosθ

Интегрирование выражений, содержащих радикалы

  I. Интегрирование функций вида , где R – рациональная функция аргументов, m – натуральное число, а, b, g, d – некоторые константы.

 При интегрировании таких функций полагают , тогда х будет некоторая рациональная функция j(t) и интеграл запишется в виде:

,

где подынтегральная функция есть рациональная функция t.

 Пример 1. Вычислим

.

  Решение. Положим , тогда , т.е. dx = 2tdt.

.

Разлагая рациональную функцию в сумму простейших дробей, имеем

.

Математический анализ Типовые расчеты по математике