Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


В соответствии с подразделом "Один из коэффициентов при неизвестных равен нулю" плоскость должна быть параллельна каждой из осей отсутствующих переменных и, следовательно, параллельна координатной плоскости, содержащей эти оси. Тогда можно найти точку $ M$ пересечения исходной плоскости с осью переменного, явно присутствующего в ее уравнении, и провести через нее прямые, параллельные двум другим осям. Например, построим изображение плоскости $ {2z=3}$ .

Плоскость параллельна оси $ Ox$ и оси $ Oy$ . Следовательно, плоскость параллельна координатной плоскости $ xOy$ . Находим точку $ M$ пересечения исходной плоскости с осью $ Oz$ : $ M(0;0;1.5)$ . Проводим через точку $ M$ две прямые, параллельные осям $ Ox$ и $ Oy$ , соответственно. Получаем изображение плоскости (рис. 11.5).




Рис.11.5.Два коэффициента при переменных равны нулю

Определение. Множество векторов   называется вещественным линейным пространством, если в этом множестве введены опе­рации сложения двух векторов (т.е. каждой паре , по­ставлен в соответствие определенный элемент  из множества ) и умножения вектора на вещественное число (т.е. каждому вектору  и произвольному числу  по­ставлен в соответствие определенный элемент  из мно­жества ), и эти две операции удовлетворяют следующим ак­сиомам:

1)        для ;

2)     для ;

3)    во множестве  существует нулевой вектор   такой, что  для ;

4)    для  во множестве  существует противоположный век­тор  такой, что ;

5)    для  выполняется ;

6)    для  и  выполняются равенства

;

;

.

Определение. Арифметическим пространством Rn называется множество векторов , в котором операции сложения векторов и умножения вектора на число определены следующим образом: если ,,, то

,.

41

Утверждение. Множество всех решений однородной системы об­разует

линейное пространство.

Определение. Линейной комбинацией векторов  называ­ется сумма вида , где - произвольные числа.

Утверждение. Множество всех линейных комбинаций векторов  образует линейное пространство.

Интегрирование выражений, содержащих радикалы

  I. Интегрирование функций вида , где R – рациональная функция аргументов, m – натуральное число, а, b, g, d – некоторые константы.

 При интегрировании таких функций полагают , тогда х будет некоторая рациональная функция j(t) и интеграл запишется в виде:

,

где подынтегральная функция есть рациональная функция t.

 Пример 1. Вычислим

.

  Решение. Положим , тогда , т.е. dx = 2tdt.

.

Разлагая рациональную функцию в сумму простейших дробей, имеем

.

Математический анализ Типовые расчеты по математике