Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказдипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

Выше, в примерах 2.17 и 2.23, мы отмечали, что, фактически, при вычислении этих пределов использовали соображения, связанные с непрерывностью функций. Дадим теперь строгое определение непрерывности и обсудим способы вычисления пределов с помощью этого понятия.

        Определение 2.14   Пусть $ x_0$ -- внутренняя точка области определения функции $ f(x)$, то есть функция $ f(x)$ определена при всех $ x$ из некоторого интервала $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$ ( $ {\delta}>0$), окружающего точку $ x_0$. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$
(то есть предполагается, что этот предел существует и равен значению функции в указанной точке).    

Рис.2.34.Функция $ f(x)$ непрерывна в точке $ x_0$
[an error occurred while processing this directive]
        Пример 2.28   При доказательстве теоремы о первом замечательном пределе нами было получено, что $ \lim\limits_{x\to0+}\sin x=0$ (формула (2.3)). Так как $ \sin(-x)=-\sin x$, то с помощью замены $ t=-x$ легко показать, что $ {\lim\limits_{x\to0-}\sin x=0,}$ а из теоремы о связи односторонних и двустороннего пределов отсюда следует, что
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\sin x=\sin0=0.$
Эта формула означает, что функция $ f(x)=\sin x$ непрерывна в точке $ x_0=0$.
Там же была получена формула (2.4): $ {\lim\limits_{x\to0+}\cos x=1.}$ Пользуясь тем, что $ {\cos(-x)=\cos x}$, и сделав замену $ {t=-x}$, получим, что $ {\lim\limits_{x\to0-}\cos x=1.}$ Поэтому и
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}\cos x=\cos0=1.$
Это означает, что функция $ {g(x)=\cos x}$ также непрерывна при $ {x_0=0}$.
Покажем, что функция $ \sin x$ непрерывна при любом $ x_0\in\mathbb{R}$. По определению, для этого нужно доказать, что
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\sin x=\sin x_0.$
Положим $ h=x-x_0$ и заметим, что база $ x\to x_0$ при такой замене переходит в базу $ h\to0$. Далее,
$\displaystyle \sin x=\sin(x_0+h)=\sin x_0\cos h+\cos x_0\sin h.$
Поэтому
\begin{multline*} \lim_{x\to x_0}\sin x=\lim_{h\to0}\sin(x_0+h)= \lim_{h\to0}(... ... x_0\lim_{h\to0}\sin h= \sin x_0\cdot1+\cos x_0\cdot0=\sin x_0 \end{multline*}
(здесь мы воспользовались линейностью предела; $ \sin x_0$ и $ \cos x_0$ были при этом постоянными коэффициентами), что и доказывает непрерывность синуса.
Совершенно аналогично, с использованием формулы
$\displaystyle \cos(x_0+h)=\cos x_0\cos h-\sin x_0\sin h,$
доказывается непрерывность при любом $ x_0$ функции $ \cos x$.

Пусть задан двукратный интеграл     . Если область интегрирования D (рис. 15), задаваемая неравенствами     является также правильной относительно оси ОУ, т.е. граница области D пересекается прямой y = c (c постаянная) не более чем в двух точках, то область D можно задать другими неравенствами:

.

Здесь  α, β   - соответственно наибольшее и наименьшее значение y в области D ;
x = ψ1(y)  - левая часть границы;
x = ψ2(y)    - правая часть границы области D .

Тогда в двукратном интеграле можно изменить порядок интегрирования:

Рис. 15

 

Вычисление площадей плоских фигур

В прямоугольной системе координат площадь ограниченной правильной в направлении оси ОХ области     равна

 

Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть область D - правильная в полярных координатах, т.е. прямая φ = c, (c - const) пересекает границу области D не более двух раз. Пусть область D задается неравенствами  β ≤ φ ≤ α,   ρ1(φ) ≤ ρ ≤ ρ2(φ).

Тогда двойной интеграл     функции f(x,y) , заданной в прямоугольных координатах, можно свести к вычислению двукратного интегра- ла в полярных координатах:

.

 

Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах

Площадь правильной области         в полярных координатах находится так:

    .

 

Вычисление объемов с применением двойного интеграла

Объем V тела, ограниченного поверхностью z = f(x,y). , где f(x,y) - неотрицательная функция, плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси ОZ, равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области D :

.

Первое направление является традиционным - применение ЭВМ для автоматизации вычислений Матрицы и определители Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Питер Барлоу (англ. Peter Barlow, 15 (?) октября 1776 — 1 марта 1862) — английский специалист по фундаментальной и прикладной математике. Барлоу родился в Норидже, точно известны только месяц и год его рождения. Пpоводники в электpостатическом поле. Электpостатика лекции и конспекты по физике В 1806 году в возрасте тридцати лет он был назначен преподавателем математики в Королевском военном училище в Вулидже (юго-восточный Лондон). На этом посту Барлоу работал 41 год. В 1823 он стал членом Королевского общества и двумя годами позже получил медаль Копли. Барлоу уделял много внимания паровозостроению и заседал в железнодорожных комиссиях в 1836, 1839, 1842 и 1845. Он также провел несколько расследований для вновь образованной Железнодорожной инспекции в начале 1840 гг. Кривые и поверхности

Его сыновья Питер Уильям Барлоу и Уильям Генри Барлоу стали выдающимися инженерами-строителями XIX века.

Преобразования Лапласа Примеры решения задач математика

коммутационные схемы Перечень команд AutoCAD ; Метод суперпозиции