Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


Пусть плоскости $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ заданы соответственно уравнениями $ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ и $ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ . Требуется найти угол $ {\varphi}$ между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку $ M$ на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры $ l_1$ и $ l_2$ к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ плоскостей $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ с началами в точке $ M$ (рис. 11.6).




Рис.11.6.Угол между плоскостями

[an error occurred while processing this directive]

Если через точку $ M$ провести плоскость $ \Pi$ , перпендикулярную линии пересечения плоскостей $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ , то прямые $ l_1$ и $ l_2$ и изображения векторов $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости $ \Pi$ (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).




Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый





Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой


В одном варианте (рис. 11.7) $ {{\varphi}+{\alpha}=\frac{\pi}2}$ и $ {\psi+{\alpha}=\frac{\pi}2}$ , следовательно, угол $ \psi$ между нормальными векторами равен углу $ {\varphi}$ , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями $ \Pi_1$ и $ \Pi_2$ .

Во втором варианте (рис. 11.8) $ {\gamma}={\varphi}$ , а угол $ \psi$ между нормальными векторами равен $ \pi-{\gamma}$ . Так как

[an error occurred while processing this directive]

$\displaystyle \cos\psi=\cos(\pi-{\gamma})=-\cos{\gamma},$

то в обоих случаях $ {\vert\cos\psi\vert=\cos{\varphi}}$ .

По определению скалярного произведения $ {\bf n}_1{\bf n}_2=\vert{\bf n}_1\vert\cdot\vert{\bf n}_2\vert \cos\psi$ . Откуда

$\displaystyle \cos\psi=\frac{{\bf n}_1{\bf n}_2}{\vert{\bf n}_1\vert\cdot\vert{\bf n}_2\vert}$

и соответственно

$\displaystyle \cos{\varphi}=\frac{\vert{\bf n}_1{\bf n}_2\vert}{\vert{\bf n}_1\vert\cdot\vert{\bf n}_2\vert}.$(11.4)


Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула(11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями.

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:

$\displaystyle {\bf n}_1{\bf n}_2=0.$(11.5)


Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей

$\displaystyle {\bf n}_1=t{\bf n}_2,$(11.6)


где $ t$ -- любое число.

 

 

1. Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен. Рассмотрим интегралы, подынтегральная функция в которых содержит квадратный трёхчлен $ ax^2+bx+c$ , где $ a\ne0,\ b,\ c$  -- некоторые постоянные, вида

 

$\displaystyle \int\frac{Mx+N}{ax^2+bx+c}dx$ и $\displaystyle \int\frac{Mx+N}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx.$

(Заметим, что в числителе дроби должно стоять линейное выражение $ Mx+N$ , где $ M$ и $ N$  -- постоянные; при этом какой-либо из постоянных не запрещается быть равной 0.)

Такие интегралы приводятся к табличным следующим способом. Нужно выделить из квадратного трёхчлена выражение, равное полному квадрату, сделав такое преобразование:

$\displaystyle ax^2+bx+c=a\bigl(x^2+2x\cdot\frac{b}{2a}+\bigl(\frac{b}{2a}\bigl)... ...2a}\bigl)^2\bigl)= a\bigl(x+\frac{b}{2a}\bigl)^2+\bigl(c-\frac{b^2}{4a}\bigl).$

После этого сделаем линейную замену $ z=x+\frac{b}{2a}$ и получим интеграл одного из видов:

$\displaystyle \int\frac{mz+n}{z^2+d^2}\,dz;\ % \int\frac{mz+n}{z^2-d^2}\,dz;\ % \int\frac{mz+n}{\sqrt{z^2\pm d^2}}\,dz;\ % \int\frac{mz+n}{\sqrt{d^2-z^2}}\,dz$

при некоторых постоянных $ m,n$ и $ d$ . Далее разбиваем интеграл на два слагаемых и в первом, в числителе подынтегральной функции содержащем $ mz$ , делаем замену $ {u=z^2+d^2}$ , $ {u=z^2-d^2}$ или $ {u=d^2-z^2}$ , согласно тому, что стоит в знаменателе. После этого первое слагаемое приводится к табличному интегралу. Второе слагаемое, с $ n$ в числителе подынтегральной функции, тоже даёт табличный интеграл.

Интегрирование функций вида , где R(x) – рациональная функция.

 Выделяя из рациональной дроби R(x) целую часть – многочлен  и раскладывая дробь  в сумму простейших дробей, видим, что интегрирование функций  приводится к вычислению интегралов следующих типов:

 а) , Р(х) – многочлен;

 б) , А – константа;

в) , M, N – константы и трехчлен х2 +px+q не имеет действительных корней.

 Укажем методы вычисления этих интегралов.

а) Можно показать, что первообразную для функции , где Р(х) – многочлен степени n, следует искать в виде  (1)

где Q(x) – многочлен степени (n – 1) с неопределенными коэффициентами, a - неизвестная константа.

  Коэффициенты многочлена Q(x) и число a находятся при помощи дифференцирования тождества (1).

Математический анализ Типовые расчеты по математике