Лекции и конспекты по математике Пусть фиксирована некоторая база

Определение 2.16 Пусть фиксирована некоторая база $\mathcal{B}$ и на некотором её окончании заданы две функции ${\varphi}(x)$ и $\psi(x)$ , бесконечно малые при базе $\mathcal{B}$ . Предположим также, что $\psi(x)\ne0$ при всех $x\in E$ . Пусть существует
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}=L.$
Если $L\ne0$ , то бесконечно малая ${\varphi}(x)$ имеет тот же порядок малости, что и $\psi(x)$ . Этот факт обозначается так:
$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x).$
Если же , то ${\varphi}(x)$ имеет больший порядок малости, чем $\psi(x)$ . Это обозначается так:
$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x).$
Заметим, что если ${\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x)$ , то для всех из некоторого окончания базы $\mathcal{B}$ будет выполнено неравенство ${\varphi}(x)\ne0$ . Это сразу следует из того, что $\lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}=L\ne0.$

Предложение 2.2 Если при базе $\mathcal{B}$ бесконечно малая ${\varphi}(x)$ имеет тот же порядок малости, что $\psi(x)$ , то и $\psi(x)$ имеет тот же порядок малости, что ${\varphi}(x)$ , то есть

$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x)... ...htarrow \quad\psi(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}(x).$

(S)

[an error occurred while processing this directive]

Если две бесконечно малых ${\varphi}(x)$ и $\psi(x)$ одного порядка малости, и две бесконечно малых $\psi(x)$ и $\chi(x)$ тоже одного порядка малости при базе $\mathcal{B}$ , то две величины ${\varphi}(x)$ и $\chi(x)$ также имеют один и тот же порядок малости при базе $\mathcal{B}$ , то есть

$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\psi(x)... ...htarrow \quad{\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}\chi(x).$

(T)

Кроме того, бесконечно малая величина ${\varphi}(x)\ne0$ имеет тот же порядок малости, что она же сама:

$\displaystyle {\varphi}(x)\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}{\varphi}(x).$

(R)

Доказательство. Поскольку $\lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}= \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac {1} {\dfrac{\psi(x)}{{\varphi}(x)}} =L\ne0,$ то $\lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{\psi(x)}{{\varphi}(x)}=\dfrac{1}{L}\ne0$ , откуда следует первое из доказываемых утверждений.
Второе утверждение следует из первого и цепочки равенств
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\chi(x)}= \lim_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{\psi(x)}\dfrac{\psi(x)}{\chi(x)}=L\cdot M\ne0,$
где
$\displaystyle M=\lim_{\mathcal{B}}\dfrac{\psi(x)}{\chi(x)}\ne0$
по условию предложения.
Наконец, третье утверждение сразу следует из очевидного соотношения $\lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{{\varphi}(x)}{{\varphi}(x)}=1\ne0.$

Итак, свойство двух или нескольких бесконечно малых величин иметь один и тот же порядок малости, то есть отношение $\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}$ , заданное в множестве бесконечно малых при данной базе $\mathcal{B}$ величин ${\varphi}(x),\psi(x),\chi(x),\dots$ , является рефлексивным, транзитивным и симметричным.
Рефлексивность какого-либо отношения $\sim$ , заданного в некотором множестве объектов ${\varphi},\psi,\chi,\dots$ , означает, что выполнено свойство
(R): ${\varphi}\sim{\varphi}$ ,
транзитивность-- что выполнено свойство
(T): ${\varphi}\sim\psi,\ \psi\sim\chi\quad\Longrightarrow \quad{\varphi}\sim\chi$ ,
а симметричность-- что выполнено свойство
(S): ${\varphi}\sim\psi\quad\Longrightarrow \quad\psi\sim{\varphi}$ .
Любое рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение $\sim$ разбивает множество объектов, для которых оно определено, на классы объектов, эквивалентных по данному отношению: в один класс с объектом ${\varphi}$ попадают все объекты $\psi$ , для которых $\psi\sim{\varphi}$ .
Поэтому все бесконечно малые при данной базе $\mathcal{B}$ величины разбиваются на классы по отношению $\mathrel{\mathop{\asymp}\limits_{\mathcal{B}}}$ , в каждый из которых входят все величины, имеющие один и тот же порядок малости.

Формула Тейлора
Формула Тейлора позволяет данную функцию у=f(x) представить в виде многочлена с со счетным числом слагаемых (ряда) по степеням х.
(4.1.)
или по степеням х-х0:
(4.2.)
При для (4.1.) или для (4.2.) эти равенства можно записать так:
(4.1’)
, (4.2’)
где через о(хn) обозначается бесконечно малая величина более высокого порядка, чем хn.
-остаток формулы Тейлора.

Интегрирование функций вида , где R(x) – рациональная функция.

Выделяя из рациональной дроби R(x) целую часть – многочлен и раскладывая дробь в сумму простейших дробей, видим, что интегрирование функций приводится к вычислению интегралов следующих типов:

а) , Р(х) – многочлен;

б) , А – константа;

в) , M, N – константы и трехчлен х2 +px+q не имеет действительных корней.

Укажем методы вычисления этих интегралов.

а) Можно показать, что первообразную для функции , где Р(х) – многочлен степени n, следует искать в виде (1)

где Q(x) – многочлен степени (n – 1) с неопределенными коэффициентами, a - неизвестная константа.

Коэффициенты многочлена Q(x) и число a находятся при помощи дифференцирования тождества (1).

Математический анализ Типовые расчеты по математике

Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч