Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Расстояние от точки до плоскости

Предложение 11.1 Пусть плоскость $ \Pi$ задана уравнением $ {Ax+By+Cz+D=0}$ и дана точка $ M_0 (x_0;y_0;z_0)$ . Тогда расстояние $ \rho$ от точки $ M_0$ до плоскости $ \Pi$ определяется по формуле
$\displaystyle \rho=\frac{\vert Ax_0+By_0+Cz_0+D\vert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$(11.7)

Доказательство. Расстояние от точки $ M_0$ до плоскости$ \Pi$ -- это, по определению, длина перпендикуляра $ MK$ , опущенного из точки $ M_0$ на плоскость $ \Pi$ (рис.11.9).

Рис.11.9.Расстояние от точки до плоскости

[an error occurred while processing this directive]

Вектор $ \overrightarrow {KM_0}$ и нормальный вектор n плоскости $ \Pi$ параллельны, то есть угол $ {\varphi}$ между ними равен 0 или $ \pi$ , если вектор n имеет направление противоположное, указанному на рис. 11.9. Поэтому

$\displaystyle \vert{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}\vert=\vert{\bf n}\vert\vert\overrightarrow {KM_0}\vert\vert\cos{\varphi}\vert=\vert{\bf n}\vert\rho.$

Откуда

$\displaystyle \rho=\frac{\vert{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}\vert}{\vert{\bf n}\vert}.$(11.8)


Координаты точки $ K$ , которые нам неизвестны, обозначим $ x_1,\,y_1,\,z_1$ . Тогда $ \overrightarrow {KM_0}=(x_0-x_1;y_0-y_1;z_0-z_1)$ . Так как $ {{\bf n}=(A;B;C)}$ , то $ {{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}=A(x_0-x_1)+B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)}$ . Раскрыв скобки и перегруппировав слагаемые, получим

$\displaystyle {\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}=Ax_0+By_0+Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1).$(11.9)


Точка $ K$ лежит на плоскости $ \Pi$ , поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: $ {Ax_1+By_1+Cz_1+D=0}$ . Отсюда находим, что $ {Ax_1+By_1+Cz_1=-D}$ . Подставив полученный результат в формулу(11.9), получим $ {{\bf n}\cdot\overrightarrow {KM_0}=Ax_0+By_0+Cz_0+D}$ . Так как $ {\vert{\bf n}\vert= \sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ , то из формулы(11.8) следует формула(11.7).

 

Определители

Определение. Матрица из m строк, n столбцов – прямоугольная таблица чисел ; - элемент матрицы; i-номер строки; i=1,…,m; j-номер столбца, j=1,…,n; m, n – порядки матрицы. При m=n - квадратная матрица.

Определение. Минор элемента  матрицы  - определитель матрицы n-1-го порядка, полученный из матрицы  вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Определение. Алгебраическое дополнение   элемента  - число, равное .

Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим матрице , называется число .

Для вычисления определителя можно использовать элементы произвольной строки или столбца.

Транспонирование матрицы – такое преобразование матрицы, при котором строки становятся столбцами с сохранением порядка следования.

Свойства определителей:

1.        При транспонировании матрицы определитель не меняется.

2.        При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет только знак.

3.        При умножении строки (столбца) на некоторое число определитель умножается на это число.

4.        Если все соответствующие элементы квадратных матриц одного порядка одинаковы, за исключением элементов одной i-ой строки, то .

5.        Величина определителя не изменяется, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

Определитель равен нулю, если:

1.        Все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю.

2.        Две строки (столбца) одинаковы.

3.        Две строки (столбца) определителя пропорциональны.

Интегрирование функций вида , где R(x) – рациональная функция.

 Выделяя из рациональной дроби R(x) целую часть – многочлен  и раскладывая дробь  в сумму простейших дробей, видим, что интегрирование функций  приводится к вычислению интегралов следующих типов:

 а) , Р(х) – многочлен;

 б) , А – константа;

в) , M, N – константы и трехчлен х2 +px+q не имеет действительных корней.

 Укажем методы вычисления этих интегралов.

а) Можно показать, что первообразную для функции , где Р(х) – многочлен степени n, следует искать в виде  (1)

где Q(x) – многочлен степени (n – 1) с неопределенными коэффициентами, a - неизвестная константа.

  Коэффициенты многочлена Q(x) и число a находятся при помощи дифференцирования тождества (1).

Математический анализ Типовые расчеты по математике