Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Теорема (Лагранжа). Для всякой квадратичной формы существует такой базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид.

Определение. Нормальным видом квадратичной формы называется такой канонический вид, в котором коэффициенты при квадратах неизвестных (не считая нулевых) равны .

Определение. Квадратичная форма  называется положительно

(отрицательно) определённой, если  при всех

108

 и положительно (отрицательно) полуопределённой,если  при всех .

Теорема (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма  была положительно определённой, необходимо и достаточно чтобы все угловые миноры матрицы квадратичной формы были положительны,то есть, чтобы

Здесь -угловые миноры матрицы квадратичной формы.

Следствие. Для того чтобы квадратичная форма  была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы квадратичной формы чередовались следующим образом:

Интегрирование функций вида , где R(x) – рациональная функция.

 Выделяя из рациональной дроби R(x) целую часть – многочлен  и раскладывая дробь  в сумму простейших дробей, видим, что интегрирование функций  приводится к вычислению интегралов следующих типов:

 а) , Р(х) – многочлен;

 б) , А – константа;

в) , M, N – константы и трехчлен х2 +px+q не имеет действительных корней.

 Укажем методы вычисления этих интегралов.

а) Можно показать, что первообразную для функции , где Р(х) – многочлен степени n, следует искать в виде  (1)

где Q(x) – многочлен степени (n – 1) с неопределенными коэффициентами, a - неизвестная константа.

  Коэффициенты многочлена Q(x) и число a находятся при помощи дифференцирования тождества (1).