Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей -- $ {A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0}$ и $ {A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0}$ , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0.\end{array}\right.$(11.11)

И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.

Уравнения(11.11) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

Замечание 11.2 Любые попытки с помощью преобразований уравнений системы(11.11) получить одно (линейное) уравнение, задающее прямую, обречены на неудачу. Одно уравнение-- это уравнение плоскости.

Общие уравнения прямой "неудобны" для получения информации о положении прямой.

Например, чтобы найти координаты какой-нибудь точки на прямой, нужно провести довольно сложные вычисления. А именно, задать произвольно какую-нибудь координату, подставить ее в систему(11.11) и из получившейся системы двух уравнений с двумя неизвестными найти две остальные координаты. Причем может оказаться, что полученная система не имеет решений. Тогда нужно произвольно задать другую координату и из системы найти две оставшиеся координаты.

[an error occurred while processing this directive]

Пример 11.2 Требуется найти какую-нибудь точку $ M$ на прямой
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} 3x-y+z+4=0,\\ x+y-2z+1=0.\end{array}\right.$
Решение. Положим $ z=-4$ . Получим систему
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} 3x-y=0,\\ x+y+9=0.\end{array}\right.$
Решая ее, находим $ x=-2.25$ , $ y=-6.75$ .
Ответ: $ M(-2.25;-6.75;-4)$ .

Можно задать прямую в пространстве и другим способом.

Ненулевой вектор, лежащий на прямой (параллельный ей) называется направляющим вектором прямой.

Пусть для прямой $ {\gamma}$ известны ее направляющий вектор $ {\bf p}=(k;l;m)$ и точка $ M_0 (x_0;y_0;z_0)$ , лежащая на этой прямой. Пусть $ M(x;y;z)$ -- произвольная (текущая) точка прямой $ {\gamma}$ . Обозначим через $ {\bf r}_0$ и r радиус-векторы точек $ M_0$ и $ M$ соответственно (рис. 11.11).




Рис.11.11.Векторное уравнение прямой

[an error occurred while processing this directive]

Тогда вектор $ \overrightarrow {M_0M}$ коллинеарен вектору p и, следовательно, $ {\overrightarrow {M_0M}=t{\bf p}}$ , где $ t$ -- некоторое число. Из рис. 11.11 видно, что

$\displaystyle {\bf r}={\bf r}_0+t{\bf p}.$(11.12)

Это уравнение называется векторным уравнением прямой или уравнением в векторной форме. При каждом значении параметра $ t$ мы будем получать новую точку $ M$ на прямой $ {\gamma}$ .

Вычисление тройного интеграла  может быть осуществлено посредством ряда последовательных интегрировании. Мы ограничимся описанием соответствующих правил.

 

Декартовы координаты.

 

Пусть дан тройной интеграл от функции

причем область  отнесена к системе декартовых координат Oxyz, Разобьем область интегрирования и плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Тогда частичными областями будут параллелепипеды с гранями, параллельными плоскостям Оху, Охz, Оуz. Элемент объема .будет равен, произведению дифференциалов переменных интегрирования

В соответствии с этим будем писать

Установим теперь правило для вычисления такого интеграла.

Будем считать, что область интегрирования  имеет вид, изобра­женный на рис. 1).

Опишем около и цилиндрическую поверхность с образующей, перпендикулярной к плоскости Оху. Она касается области   вдоль некоторой линии L, которая делит поверхность, ограничивающую область, на две части: верхнюю и нижнюю. Уравнением нижней поверхности пусть будет , уравнением верхней .

Построенная цилиндрическая поверхность высекает из плоскости Оху плоскую область D, которая является ортогональной проек­цией пространственной области  на плоскость Оху, при этом линия L проектируется в границу области .

Будем производить интегрирование сначала по Направлению оси Оz. Для этого функция  интегрируется по заключен­ному в  отрезку прямой, параллельной оси Оz и проходящей через некоторую точку Р(х, у) области D (на рис. 1 отрезок  ). При данных х и у переменная интегрирования z будет изменяться от  - аппликаты точки «входа» ()  прямой в область , до  -  аппликаты точки «выхода» ( ) прямой из области .

Результат интегрирования представляет собой величину, зави­сящую от точки Р (х, у); обозначим ее через F(х, у):

При интегрировании х и у рассматриваются здесь как постоян­ные.

Мы получим значение искомого тройного интеграла, если возьмем интеграл от функции F(х, у) при условии, что точка Р(х, у) изменяется по области D, т. е. если возьмем двойной интеграл

Таким образом, тройной интеграл I может быть представлен в виде

Приводя, далее, двойной интеграл по области D к повторному и интегрируя сначала по y, а затем по x, получим

 (*)

где и  - ординаты точек «входа» в область D и «выхо­да» из нее прямой  (в плоскости Оху), а a и b - абсциссы конечных точек интервала оси Ох, на который про­ектируется область D.

Мы видим, что вычис­ление тройного интеграла по области  производит­ся, посредством трех пос­ледовательных интегриро­вании.

Формула (*) сохраняет­ся и для областей, имею­щих цилиндрическую фор­му, т. е. ограниченных цилиндрической поверхно­стью с образующими, параллельными оси Оz, а сни­зу и сверху поверхностями, уравнения которых соответственно  и   (рис. 2).

 

 

 Рис.2

Если областью интегрирования служит внутренность парал­лелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям (рис. 3), то пределы интегрирования постоянны во всех трех .интегралах :

В этом случае интегрирование можно производить в любом порядке, пределы интегрирования будут при этом сохраняться.

Если же в общем случае менять порядок интегрирования ( т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси Oy, а затем по области плоскости Oxz), то это приведёт к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной.

Интегрирование функций вида , где R(x) – рациональная функция.

 Выделяя из рациональной дроби R(x) целую часть – многочлен  и раскладывая дробь  в сумму простейших дробей, видим, что интегрирование функций  приводится к вычислению интегралов следующих типов:

 а) , Р(х) – многочлен;

 б) , А – константа;

в) , M, N – константы и трехчлен х2 +px+q не имеет действительных корней.

 Укажем методы вычисления этих интегралов.

а) Можно показать, что первообразную для функции , где Р(х) – многочлен степени n, следует искать в виде  (1)

где Q(x) – многочлен степени (n – 1) с неопределенными коэффициентами, a - неизвестная константа.

  Коэффициенты многочлена Q(x) и число a находятся при помощи дифференцирования тождества (1).

Математический анализ Типовые расчеты по математике