Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


Замечание 11.3 Если в качестве параметра $ t$ взять время, то точка $ M$ будет двигаться по прямой со скоростью $ \vert{\bf p}\vert$ , причем в момент времент $ {t=0}$ ее положение совпадает с точкой $ M_0$ . Вектор скорости точки совпадает с вектором p.

От векторного соотношения(11.12) перейдем к соотношениям координат. Так как $ (x;y;z)$ -- координаты точки $ M$ , то $ {{\bf r}=(x;y;z)}$ , $ {{\bf r}_0=(x_0;y_0;z_0)}$ , $ {t{\bf p}=(tk;tl;tm)}$ . Из формулы(11.12) получим

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x=kt+x_0,\\ y=lt+y_0,\\ z=mt+z_0.\end{array}\right.$(11.13)

Полученная система уравнений называется параметрическими уравнениями прямой.

Обратим внимание на то, что по параметрическим уравнениям легко установить направляющий вектор прямой и координаты одной из ее точек. Коэффициенты перед параметром $ t$ дают координаты направляющего вектора, а свободные члены в правой части-- координаты точки на прямой.

Так как направляющий вектор прямой определяется с точностью до умножения на число, отличное от нуля, а в качестве точки $ M_0$ можно взять любую точку прямой, то одна и та же прямая может задаваться бесконечным множеством систем параметрических уравнений. Причем разные системы могут быть не похожими друг на друга.

Из уравнений(11.13) выразим параметр $ t$ :

$\displaystyle t=\frac{x-x_0}k,\quad t=\frac{y-y_0}l,\quad t=\frac{z-z_0}m.$

Так как во всех трех соотношениях параметр $ t$ имеет одно и то же значение, то

$\displaystyle \frac{x-x_0}k=\frac{y-y_0}l=\frac{z-z_0}m.$(11.14)

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Замечание 11.4 В канонических уравнениях прямой допускается в знаменателе писать 0. Это не означает, что можно выполнить деление на 0. Просто из канонических уравнений мы получаем информацию о том, что направляющий вектор прямой имеет координаты $ k,\,l,\,m$ , из которых одна нулевая.

Пример 11.3 Прямая с каноническими уравнениями
$\displaystyle \frac{x-2}1=\frac{y-2}2=\frac{z+5}0$
имеет направляющий вектор $ {\bf p}=(1;2;0)$ .

Замечание 11.5 Канонические уравнения прямой(11.14) нельзя рассматривать как одно уравнение (в них два знака "=" и следовательно, два уравнения). Они составляют своеобразным способом записанную систему из двух уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} l(x-x_0)=k(y-y_0),\\ m(x-x_0)=k(z-z_0).\end{array}\right.$
Возможны, впрочем, еще две записи системы, подумайте какие.

Примеры

1. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и записать соответствующее преобразование

 . 

Решение. Следуя алгоритму метода Лагранжа, выделим вначале в квад-ратичной форме все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата: 

  .

Сделаем в этом выражении замену  и подставим его в квадратичную форму. Получим:

 . 

Далее выделим в  члены, содержащие  и проделаем с ними анало-гичную процедуру: 

   

Если положить , то квадратичная форма уже не будет содержать смешанных произведений. Примем также , тогда

109

канонический вид квадратичной формы есть 

 .

Соответствующее преобразование от переменных  к переменным  имеет вид:

 .

2. Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, и записать соответствующий канонический вид этой формы:

 . 

Решение. В исходном базисе  матрица оператора, соответствующая данной квадратичной форме, есть

 .

Эта матрица будет определять квадратичную форму  канонического вида в ортонормированном базисе , составленном из собственных векторов матрицы . Найдем их.

Характеристическое уравнение для матрицы  имеет вид

 .

Откуда следует

  и .

Как известно собственные векторы матрицы находятся из уравнений

 .

Для случая  имеем:

 . 

Интегрирование функций вида , где R(x) – рациональная функция.

 Выделяя из рациональной дроби R(x) целую часть – многочлен  и раскладывая дробь  в сумму простейших дробей, видим, что интегрирование функций  приводится к вычислению интегралов следующих типов:

 а) , Р(х) – многочлен;

 б) , А – константа;

в) , M, N – константы и трехчлен х2 +px+q не имеет действительных корней.

 Укажем методы вычисления этих интегралов.

а) Можно показать, что первообразную для функции , где Р(х) – многочлен степени n, следует искать в виде  (1)

где Q(x) – многочлен степени (n – 1) с неопределенными коэффициентами, a - неизвестная константа.

  Коэффициенты многочлена Q(x) и число a находятся при помощи дифференцирования тождества (1).

Математический анализ Типовые расчеты по математике