Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч


Довольно часто встает следующая задача. Требуется от общих уравнений прямой перейти к параметрическим, которые в некотором смысле являются более удобными. Рассмотрим, как решить такую задачу.

Для того, чтобы написать параметрические уравнения прямой нужно знать координаты какой-нибудь точки на прямой и координаты направляющего вектора. Как найти координаты точки $ M_0$ на прямой, мы уже обсуждали выше Направляющий вектор можно найти двумя способами.

Во-первых, можно найти координаты другой точки $ M_1$ на этой же прямой и в качестве направляющего вектора взять вектор $ \overrightarrow {M_0M_1}$ .

Во-вторых, если заметить, что нормальные векторы $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ плоскостей, чьи уравнения образуют систему уравнений для прямой, ортогональны самой прямой, то можно сделать вывод: любой ненулевой вектор, ортогональный векторам $ {\bf n}_1$ и $ {\bf n}_2$ , можно принять в качестве направляющего вектора p. В частности, можно положить $ {{\bf p}={\bf n}_1\times {\bf n}_2}$ .

Пример 11.4 Прямая задана уравнениями
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} 2x-3y+4z+1=0,\\ x+2y-2z+2=0.\end{array}\right.$(11.15)
[an error occurred while processing this directive]
Требуется написать ее параметрические уравнения.
Решение. Найдем какую-нибудь точку $ M_0$ на прямой. Положим $ z=0$ . Система(11.15) примет вид
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} 2x-3y+1=0,\\ x+2y+2=0,\end{array}\right.$
Решая ее, находим $ x=-\frac 87$ , $ y=-\frac 37$ . Таким образом, на прямой лежит точка $ M_0\left(-\frac 87;-\frac37;0\right)$ . Найдем направляющий вектор. Нормальными векторами плоскостей, соответствующих уравнениям системы(11.15), являются $ {{\bf n}_1=(2;-3;4)}$ , $ {{\bf n}_2=(1;2;-2)}$ . Положим $ {\bf p}={\bf n}_1\times {\bf n}_2$ . Тогда
$\displaystyle {\bf p}=\left\vert\begin{array}{rrr} {\bf i}&{\bf j}&{\bf k}\\ 2&-3&4\\ 1&2&-2\end{array}\right\vert= -2{\bf i}+8{\bf j}+7{\bf k}.$
Теперь, зная точку и направляющий вектор, можно написать параметрические уравнения прямой.
Ответ: $ \left\{\begin{array}{l}x=-2t-\frac87,\\ y=8t-\frac37,\\ z=7t.\end{array}\right.$

Следующая, часто встречающаяся, задача такая:

Дано уравнение плоскости и уравнения прямой. Требуется найти их точку пересечения.

Так как точка пересечения принадлежит и прямой, и плоскости, то она удовлетворяет и уравнению плоскости, и уравнениям прямой. Поэтому для решения задачи нужно объединить уравнение плоскости и уравнения прямой в одну систему и решить ее.

Отнесём область  к системе цилиндрических координат , в которой положение точки M в пространстве определяется полярными координатами  ее проекции Р на плос­кость Oxy и ее аппликатой (z). Выбирая взаимное распо­ложение осей координат, как указано на рис. 5, уста­новим связь, между декарто­выми и цилиндрическими ко­ординатами точки М, именно:

 (*)

 

 

  Рис.5

Разобьем область  на частичные области  тремя системами координатных поверхностей:  которыми будут соответственно круговые цилиндрические поверхности, осью кото­рых является ось Оz, полуплоскости, проходящие через ось Оz, и плоскости, параллельные плоскости Оху. Частичными областями  служат прямые цилиндры MN (рис. 5). Так как объем цилиндра MN равен площади основания, умноженной на высоту, то для элемента объема получаем выражение

Преобразование тройного интеграла   к цилиндрическим координатам производится совершенно аналогично преобра­зованию двойного интеграла к полярным. Для этого нужно в вы­ражении подынтегральной функции   переменные x, y, z заменить по формулам (*) и взять элемент объёма равным

Получим

Если, в частности,  то интеграл выражает объём V области

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах приводится к интегрированиям по r, по  и по z на основании тех же принципов, что и в случае декартовых координат. В част­ности, если областью интегрирования служит внутренность ци­линдра  то пределы трехкратного интеграла постоянны и не меняются при перемене порядка интегрирования:

Интегрирование функций вида , где R(x) – рациональная функция.

 Выделяя из рациональной дроби R(x) целую часть – многочлен  и раскладывая дробь  в сумму простейших дробей, видим, что интегрирование функций  приводится к вычислению интегралов следующих типов:

 а) , Р(х) – многочлен;

 б) , А – константа;

в) , M, N – константы и трехчлен х2 +px+q не имеет действительных корней.

 Укажем методы вычисления этих интегралов.

а) Можно показать, что первообразную для функции , где Р(х) – многочлен степени n, следует искать в виде  (1)

где Q(x) – многочлен степени (n – 1) с неопределенными коэффициентами, a - неизвестная константа.

  Коэффициенты многочлена Q(x) и число a находятся при помощи дифференцирования тождества (1).

Математический анализ Типовые расчеты по математике