Лекции и конспекты по математике Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат

Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Степенная функция Показательная функция Логарифмическая Арифметическая прогрессии пределы Формула Тейлора Обратная матрица комплексные чисела Метод Ньютона Нахождени е дифференциала Производная Правило Лопиталя Проекции вектора Функции и их графики

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат.

Определение 12.1 Кривой второго порядка называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка

$\displaystyle ax^2+bxy+cy^2+dx+fy+g=0,$

(12.1)

где $a,\,b,\,c,\,d,\,f,\,g$ -- вещественные числа, и хотя бы одно из чисел ${a,\,b,\,c}$ отлично от нуля.

Исследование уравнения (12.1) в общем виде проводится так же, как и для аналогичного уравнения в пространстве (поверхности второго порядка) и эти исследования удобно производить с помощью математического аппарата, который будет рассмотрен позже. Здесь же мы ограничимся констатацией того, что уравнение (12.1) в зависимости от коэффициентов может задавать только четыре типа кривых, а именно, окружность, эллипс, гиперболу и параболу. Изучению этих кривых в "удобной" системе координат и посвящена данная глава.

Формулы Тейлора часто применяют для приближенного вычисления значений функции и о(хn) указывает степень точности вычисления.

Чтобы пользоваться формулой Тейлора, надо знать вид формулы Тейлора для основных элементарных функций:

Следует помнить, что применять формулы (4.1.) или 1-10 можно для функции только в случае, если при .

Определение и вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку

При вычислении и исследовании определённых интегралов учитывается основополагающее утверждение о том, что непрерывная на конечном интервале функция имеет первообразную (теорема Коши). Эта первообразная не всегда выражается через конечное число элементарных функций, но важно то, что она существует. При выполнении условий теоремы Коши определённый интеграл будем называть собственным, подразумевая наличие у него первообразной. Если один из пределов интегрирования не является конечным, то говорят о несобственном интеграле по бесконечному промежутку или первого рода, который определяют через предельный переход:

(1а)

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл по бесконечному промежутку называется сходящимся, в противном случае – расходящимся (если предел не существует или равен бесконечности). Аналогично определению (1а) имеем:

(1б)

(1в) где a<c<b.

Интегралы, определённые формулами (1а) и (1б), будем называть несобственными интегралами с одной особенностью (соответственно на верхнем или нижнем пределах интегрирования).

Пример 1. Вычислить несобственные интегралы по бесконечному промежутку или установить их расходимость:

Математический анализ Типовые расчеты по математике