Курсовая по математике Определение точек разрыва

      Пример 3.5 Функция $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ имеет при разрыв второго рода, так как $f(x)\to+\infty$ при $x\to0+$ и $x\to0-$ .

Рис.3.7.График функции $f(x)=\frac{1}{x^2}$

        Пример 3.6 Возьмём $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ . Все точки области определения $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$ этой элементарной функции являются точками непрерывности. Поскольку не входит в область определения функции , но определена во всех точках любой проколотой окрестности 0, то 0 -- точка разрыва функции . Разобранный выше пример 3.2 показывает, что если доопределить эту функцию при , положив , то функция становится непрерывной в точке 0. Значит, 0 -- точка разрыва первого рода для функции $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ .

Рис.3.8.Устранимый разрыв функции $\frac{\sin x}{x}$

        Пример 3.7 Рассмотрим функцию $f(x)=e^{-\frac{1}{x^2}}$ . Её область определения ${\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}}$ состоит из точек непрерывности, так как это элементарная функция. Точка ${x_0=0}$ , в которой функция не определена, -- это точка разрыва функции. Поскольку ${-\dfrac{1}{x^2}\to-\infty}$ при ${x\to0}$ , то ${\lim\limits_{x\to0}f(x)=0}$ . Это означает, что при функция имеет устранимый разрыв и становится непрерывной на всей вещественной оси, если положить .

Рис.3.9.Устранимый разрыв функции $e^{-\frac{1}{x^2}}$

        Пример 3.8 Рассмотрим функцию $f(x)=x^n\sin\frac{1}{x}$ , где $n\in\mathbb{N}$ . При она имеет разрыв, так как $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$ . Поскольку $\sin\frac{1}{x}$ -- ограниченная функция, а $x^n\to0$ при $x\to0$ , то $\lim\limits_{x\to0}=0$ (по теореме 2.7). Следовательно, разрыв устранимый, и если доопределить функцию, положив , она становится непрерывной при всех $x\in\mathbb{R}$ .

Рис.3.10.График функции $y=x^n\sin\frac{1}{x}$ при

Исследовать функции на непрерывность, в точках устранимого разрыва доопределить функцию для устранения разрыва:

а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) .

б) . Здесь точка разрыва х=0. Так как , то х=0- точка устранимого разрыва. Устраним разрыв:
.

в) . Здесь две точки разрыва: х1=2, х2=-2. Имеем:
Следовательно, обе точки - точки устранимого разрыва. Устраним разрыв:

Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказ
Теория представления знаний Степенная функция Показательная функция Логарифмическая Арифметическая прогрессии пределы Формула Тейлора Обратная матрица комплексные чисела координатные плоскости Метод Ньютона Нахождение точки пересечения прямой и плоскости Дифференциал Производная Правило Лопиталя Проекции вектора Функции и их графики Интегрирование по частям Дискретные по уровню или квантованные сигналы