Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

 

Начнем с определения окружности, известного из школьного курса математики.

Определение 12.2 Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Теорема 12.1 Окружность радиуса $ R$ с центром в точке $ M_0(x_0;y_0)$ имеет уравнение
$\displaystyle (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2.$(12.2)

Доказательство. Пусть $ M(x;y)$ -- текущая точка окружности. По определению окружности расстояние $ MM_0$ равно $ R$ (рис. 12.1)


Рис.12.1.Окружность

По формуле(10.4) для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению

[an error occurred while processing this directive]

$\displaystyle \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=R.$

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение(12.2).

Если в уравнении(12.2) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду(12.2). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным $ x$ и $ y$ .

Пример 12.1 Нарисуйте кривую $ {x^2+y^2-2x+6y+6=0}$ .

Решение. Выделив полные квадраты, получим
$\displaystyle (x-1)^2+(y+3)^2=2^2.$
Итак, центр окружности -- $ M_0(1;-3)$ , радиус равен 2 (рис. 12.2).



Рис.12.2.Окружность, заданная уравнением $ x^2+y^2-2x+6y+6=0$


Решение задачи закончено.

Исследовать функции на непрерывность, в точках устранимого разрыва доопределить функцию для устранения разрыва:

а) ,

б) ,

в) ,

 

г) ,

д) .

 

 

 

 

 

 

 

 

г) . Здесь точки разрыва х=0 и . Так как , то все эти точки- точки устранимого разрыва. Устраним разрыв:

  .

д) . Здесь точка разрыва x=0. Так как  не существует, то х=0 точка разрыва 2-го рода.

 

в) . Здесь две точки разрыва: х1=2, х2=-2. Имеем:

Следовательно, обе точки - точки устранимого разрыва. Устраним разрыв:

 

Определение и вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку

При вычислении и исследовании определённых интегралов учитывается основополагающее утверждение о том, что непрерывная на конечном интервале функция имеет первообразную (теорема Коши). Эта первообразная не всегда выражается через конечное число элементарных функций, но важно то, что она существует. При выполнении условий теоремы Коши определённый интеграл будем называть собственным, подразумевая наличие у него первообразной. Если один из пределов интегрирования не является конечным, то говорят о несобственном интеграле по бесконечному промежутку или первого рода, который определяют через предельный переход:

(1а)  

 Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл по бесконечному промежутку называется сходящимся, в противном случае – расходящимся (если предел не существует или равен бесконечности). Аналогично определению (1а) имеем: 

(1б)  

(1в)  где a<c<b.

 Интегралы, определённые формулами (1а) и (1б), будем называть несобственными интегралами с одной особенностью (соответственно на верхнем или нижнем пределах интегрирования).

 Пример 1. Вычислить несобственные интегралы по бесконечному промежутку или установить их расходимость:

Математический анализ Типовые расчеты по математике