Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказдипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

Поскольку точки $ x_0$ непрерывности функции $ f(x)$ задаются условием $ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$, то часть свойств функций, непрерывных в точке $ x_0$, следует непосредственно из свойств пределов. Сформулируем их в виде следующей теоремы.

        Теорема 3.1   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ непрерывны в точке $ x_0$. Тогда функции $ h_1(x)=f(x)+g(x)$, $ h_2(x)=f(x)-g(x)$, $ h_3(x)=f(x)g(x)$ непрерывны в точке $ x_0$. Если $ g(x_0)\ne0$, то функция $ h_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ также непрерывна в точке $ x_0$.

        Доказательство.     Оно сразу же следует из теорем о пределах 2.8, 2.9, 2.10 и следствия 2.5.     

Как непосредственное следствие этой теоремы получается следующее

        Предложение 3.3   Рассмотрим множество всех функций, определённых в некоторой фиксированной окрестности $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$ точки $ x_0$ и непрерывных в этой точке. Тогда это множество $ \mathcal{C}_{x_0}$ является линейным пространством, то есть замкнуто относительно сложения и умножения на постоянные:
$\displaystyle f_1(x),f_2(x)\in\mathcal{C}_{x_0}, C_1,C_2=\mathrm{const}\quad\Longrightarrow \quad C_1f_1(x)+C_2f_2(x)\in\mathcal{C}_{x_0}.$
[an error occurred while processing this directive]

        Доказательство.     Действительно, постоянные $ C_1$ и $ C_2$ -- это непpеpывные функции (в любой точке); по пpедыдущей теоpеме тогда непpеpывны в точке $ x_0$ пpоизведения $ C_1f_1(x)$ и $ C_2f_2(x)$. Но тогда по этой же теоpеме непpеpывна в точке $ x_0$ и сумма $ C_1f_1(x)+C_2f_2(x)$.     

        Теорема 3.2   Пусть функции $ f$ и $ g$ таковы, что существует композиция $ {h(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x))}$, $ x\in\mathcal{D}(g)$. Пусть функция $ g$ непрерывна в точке $ x_0\in\mathcal{D}(g)$, а функция $ f$ непрерывна в соответствующей точке $ u_0=g(x_0)\in\mathcal{D}(f)$. Тогда композиция $ h=f\circ g$ непрерывна в точке $ x_0$.

        Доказательство.     Заметим, что равенство $ \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=g(x_0)$ означает, что при $ x\to x_0$ будет $ u=g(x)\to u_0=g(x_0)$. Значит,

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}h(x)=\lim_{x\to x_0}f(g(x))=\lim_{u\to u_0}f(u)=f(u_0)$

(последнее равенство следует из непрерывности функции $ f$ в точке $ u_0$). Значит,

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}h(x)=f(u_0)=f(g(x_0))=h(x_0),$

а это равенство означает, что композиция $ h=f\circ g$ непрерывна в точке $ x_0$.     

Заметим, что, очевидно, в предыдущих двух теоремах можно было бы заменить базу $ x\to x_0$ на односторонние базы $ x\to x_0-$ или $ x\to x_0+$ и получить аналогичные утверждения для непрерывности слева или справа:

Рассмотрим тело, занимающее пространственную область  (рис. 1), и предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела:

 

Единица измерения плотности - кг/м3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  Рис. 1.

Разобьем тело произволь­ным образом на n частей; объемы этих частей обозначим  Выберем затем в каждой части по про­извольной точке  Полагая, что в, каждой час­тичной области плотность по­стоянна и равна ее значению в точке , мы получим при­ближенное выражение для массы всего тела в виде суммы 

 (*)

Предел этой суммы при ус­ловии, что  и каждое частичное тело стягивается в точку (т. е. что его диаметр ) стремится к нулю), и даст массу М тела

Сумма (*) называется n-й интегральной суммой, а ее предел - тройным интегралом от функции  по пространственной области .

К вычислению тройного интеграла, помимо определения массы тела, приводят и другие задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл

где  - произвольная непрерывная в области функция.

Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствую­щей терминологией для двойных интегралов. Точно так же формули­руется и теорема существования тройного интеграла .

Свойства двойных интегралов, полностью переносятся на тройные интегралы. Заметим только, что если подын­тегральная функция  тождественно равна 1, то тройной интеграл выражает объем V области :

 

Потому свойства V и VI надо теперь сформулировать следующим образом.

V 1. Если функция  во всех точках области интегри­рования  удовлетворяет неравенствам

то

где V - объем области .

VI 1. Тройной интеграл равен произведению значения подын­тегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.

Среди каналов ввода-вывода выделяли мультиплексные каналы Задания для подготовки к практическому занятию Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Американский математик, внесший существенный вклад в теорию дифференциальных уравнений и специальных функций. Работы Бейтмена по газовой динамике сыграли важную роль в усовершенствовании конструкции самолета. Родился 29 мая 1882 в Манчестере. Математическая логика Учился в Тринити-колледже Кембриджского университета, завершил образование в Германии и Франции. Поток вектоpа напpяженности электpического поля. Теоpема Гаусса Электpостатика лекции и конспекты по физике После непродолжительной работы в Тринити-колледже и университетах Ливерпуля и Манчестера в 1910 эмигрировал в США. В течение нескольких лет читал лекции в колледже Брин-Мор, а затем в университете Джонса Хопкинса. С 1917 и до конца жизни — профессор Калифорнийского технологического института в Пасадене. Функциональные ряды Примеры решения задач математика

 
коммутационные схемы Перечень команд AutoCAD ; Метод суперпозиции