Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

 
        Определение 12.3   Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.         

Для эллипса можно дать еще несколько эквивалентных определений. Желающие могут познакомиться с ними в более серьезных учебниках по аналитической геометрии. Здесь же отметим только то, что эллипс -- это кривая, получающаяся как проекция на плоскость $ \Pi$ окружности, лежащей в плоскости, которая образует острый угол с плоскостью $ \Pi$ .

В отличие от окружности, записать в "удобном" виде уравнение эллипса в произвольной системе координат не удается. Поэтому для фиксированного эллипса приходится подбирать систему координат так, чтобы его уравнение было достаточно простым.

Пусть $ F_1$ и $ F_2$ -- фокусы эллипса. Начало $ O$ системы координат расположим на середине отрезка $ F_1F_2$ . Ось $ Ox$ направим вдоль этого отрезка, ось $ Oy$  -- перпендикулярно к этому отрезку (рис. 12.3).

        Теорема 12.2   Пусть сумма расстояний от точки эллипса до фокусов равна $ 2a$ , а расстояние между фокусами -- $ 2c$ . Тогда в выбранной системе координат эллипс имеет уравнение
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$(12.4)
 

где
$\displaystyle b=\sqrt{a^2-c^2}.$(12.5)
 

        Доказательство.     Пусть $ M(x;y)$  -- текущая точка эллипса. По определению эллипса $ {F_1M+F_2M=2a}$ . Из треугольника $ F_1MF_2$ (рис. 12.3) видно, что $ F_1M+F_2M>F_1F_2$ , то есть $ 2a>2c$ , $ a>c$ , и поэтому число $ {b=\sqrt{a^2- c^2}}$ существует.

Рис.12.3.


Фокусами в выбранной системе координат являются точки $ F_1(-c;0)$ , $ F_2(c;0)$ . По формуле (10.4) для плоского случая находим

$\displaystyle F_1M=\sqrt{(x+c)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x+c)^2+y^2},\quad FM_2=\sqrt{(x-c)^2+y^2}.$

Тогда по определению эллипсаbn $\displaystyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a.$

Пренесем один из корней вправо и обе части возведем в квадрат:

$\displaystyle (x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2.$

После того, как раскроем скобки и приведем подобные члены, приходим к выражению

$\displaystyle 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=4a^2-4xc.$

Разделим обе части этого уравнения на 4 и возведем в квадрат

$\displaystyle a^2(x^2-2xc+c^2+y^2)=a^4-2a^2xc+x^2c^2.$

Раскроем скобку и приведем подобные члены

$\displaystyle x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^2(a^2-c^2).$

Учитывая, что $ b^2=a^2-c^2$ , имеем равенство

$\displaystyle x^2b^2+y^2a^2=a^2b^2.$

Наконец, разделив обе части на $ a^2b^2$ , получим уравнение (12.4).     

Уравнение (12.4) называется каноническим уравнением эллипса.

Прежде, чем нарисовать эллипс, выясним некоторые его свойства.

Указать значения параметров a и b, при которых функция

 

непрерывна.

Решение. Функция может иметь точки разрыва лишь в точках x1=1 и x2=2. Чтобы функция была непрерывна в этих точках, односторонние пределы в каждой из этих точек должны быть равны. Имеем:

 

 

 

 

Получаем систему уравнений:

  .

Итак, при а=1 и b=0 получаем непрерывную функцию

 

Определение и вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку

При вычислении и исследовании определённых интегралов учитывается основополагающее утверждение о том, что непрерывная на конечном интервале функция имеет первообразную (теорема Коши). Эта первообразная не всегда выражается через конечное число элементарных функций, но важно то, что она существует. При выполнении условий теоремы Коши определённый интеграл будем называть собственным, подразумевая наличие у него первообразной. Если один из пределов интегрирования не является конечным, то говорят о несобственном интеграле по бесконечному промежутку или первого рода, который определяют через предельный переход:

(1а)  

 Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл по бесконечному промежутку называется сходящимся, в противном случае – расходящимся (если предел не существует или равен бесконечности). Аналогично определению (1а) имеем: 

(1б)  

(1в)  где a<c<b.

 Интегралы, определённые формулами (1а) и (1б), будем называть несобственными интегралами с одной особенностью (соответственно на верхнем или нижнем пределах интегрирования).

 Пример 1. Вычислить несобственные интегралы по бесконечному промежутку или установить их расходимость:

Математический анализ Типовые расчеты по математике