Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Непрерывность функции на интервале и на отрезке
        Определение 3.3   Пусть $ f$ -- некоторая функция, $ \mathcal{D}(f)$ -- её область определения и $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$ -- некоторый (открытый) интервал (может быть, с $ a=-\infty$ и/или $ b=+\infty$). Назовём функцию $ f$ непрерывной на интервале $ (a;b)$, если $ f$ непрерывна в любой точке $ x_0\in(a;b)$, то есть для любого $ x_0\in(a;b)$ существует $ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ (в сокращённой записи:
$ \forall\ x_0\in(a;b)\ \exists\ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)).$
Пусть теперь $ [a;b]$ -- (замкнутый) отрезок в $ \mathcal{D}(f)$. Назовём функцию $ f(x)$ непрерывной на отрезке $ [a;b]$, если $ f$ непрерывна на интервале $ (a;b)$, непрерывна справа в точке $ a$ и непрерывна слева в точке $ b$, то есть
$ 1)\quad\forall\ x_0\in(a;b)\ \exists\ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0);$
$ 2)\quad\exists\ \lim\limits_{x\to a+}f(x)=f(a);$
$ 3)\quad\exists\ \lim\limits_{x\to b-}f(x)=f(b).$     
[an error occurred while processing this directive]

  Пример 3.13   Рассмотрим функцию $ H(x)=\left\{\begin{array}{rl} 0,&\mbox{ при }x<0;\\ 1,&\mbox{ при }x\geqslant 0 \end{array}\right. $ (функция Хевисайда) на отрезке $ [0;b]$, $ b>0$. Тогда $ H(x)$ непрерывна на отрезке $ [0;b]$ (несмотря на то, что в точке $ x=0$ она имеет разрыв первого рода).     


Рис.3.15.График функции Хевисайда

Аналогичное определение можно дать и для полуинтервалов вида $ (a;b]$ и $ [c;d)$, включая случаи $ a=-\infty$ и $ d=+\infty$. Однако можно обобщить данное определение на случай произвольного подмножества $ A\sbs\mathcal{D}(f)$ следующим образом. Введём сначала понятие индуцированной на $ A$ базы: пусть $ \mathcal{B}$ -- база, все окончания $ E\in\mathcal{B}$ которой имеют непустые пересечения с $ A$. Обозначим $ E\cap A$ через $ E^A$ и рассмотрим множество всех $ E^A$. Нетрудно тогда проверить, что множество $ \mathcal{B}^A=\{E^A, E\in\mathcal{B}\}$ будет базой. Тем самым для $ A\sbs\mathcal{D}(f)$ определены базы $ \mathcal{B}(x_0)^A$, $ \mathcal{B}(x_0-)^A$ и $ \mathcal{B}(x_0+)^A$, где $ \mathcal{B}(x_0)$, $ \mathcal{B}(x_0-)$ и $ \mathcal{B}(x_0+)$ -- базы непроколотых двусторонних (соответственно левых, правых) окрестностей точки $ x_0$ (их определение см. в начале текущей главы).

Найти точки разрыва, уравнения асимптот функции   и построить ее график.

Решение. Функция не определена в точке х=2. Определим односторонние пределы функции в этой точке.

  Имеем:

  

Следовательно, в точке х=2 функция терпит бесконечный разрыв. х=2- точка разрыва 2-го рода, а прямая х=2 является

вертикальной асимптотой (двусторонней). Так как , то горизонтальной асимптоты кривая не имеет.

Определим наклонную асимптоту y = kx + b. Имеем:

Следует отметить, что k=1, b=-1 независимо от того, что или . Следовательно, y=x-1 наклонная асимптота (двусторонняя). Строим график функции (рис.2.7). Сначала строим асимптоты x=2 и y=x-1, затем определяем точки пересечения с осями координат: 

с Ox - (-1;0) и (4;0) и с Oy - (0;2).

 

 

 

 

 

 

 

 

  Рис. 2.7.

Определение и вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку

При вычислении и исследовании определённых интегралов учитывается основополагающее утверждение о том, что непрерывная на конечном интервале функция имеет первообразную (теорема Коши). Эта первообразная не всегда выражается через конечное число элементарных функций, но важно то, что она существует. При выполнении условий теоремы Коши определённый интеграл будем называть собственным, подразумевая наличие у него первообразной. Если один из пределов интегрирования не является конечным, то говорят о несобственном интеграле по бесконечному промежутку или первого рода, который определяют через предельный переход:

(1а)  

 Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл по бесконечному промежутку называется сходящимся, в противном случае – расходящимся (если предел не существует или равен бесконечности). Аналогично определению (1а) имеем: 

(1б)  

(1в)  где a<c<b.

 Интегралы, определённые формулами (1а) и (1б), будем называть несобственными интегралами с одной особенностью (соответственно на верхнем или нижнем пределах интегрирования).

 Пример 1. Вычислить несобственные интегралы по бесконечному промежутку или установить их расходимость:

Математический анализ Типовые расчеты по математике