Курсовая по математике Напомним, что все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения

Определение 3.4 Назовём функцию

непрерывной на множестве $A\sbs\mathcal{D}(f)$ , если
$\forall\ x_0\in A\ \exists\ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0)^A}f(x)=f(x_0)).$

Нетрудно видеть, что тогда при и при это определение совпадает с теми, что были выше даны специально для интервала и отрезка.

Напомним, что все элементарные функции непрерывны во всех точках своих областей определения и, следовательно, непрерывны на любых интервалах и отрезках, лежащих в их областях определения.

Поскольку непрерывность на интервале и отрезке определяется поточечно, имеет место теорема, которая является непосредственным следствием теоремы 3.1:

Теорема 3.5 Пусть и -- функции и -- интервал или отрезок, лежащий в $\mathcal{D}(f)\cap\mathcal{D}(g)$ . Пусть и непрерывны на . Тогда функции , , непpеpывны на . Если вдобавок $g(x)\ne0$ пpи всех $x\in I$ , то функция $h_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ также непpеpывна на .

Из этой теоpемы вытекает следующее утвеpждение, точно так же, как из теоpемы 3.1 -- пpедложение 3.3:

Предложение 3.4 Множество $\mathcal{C}_I$ всех функций, непpеpывных на интеpвале или отpезке $I\sbs\mathbb{R}$ -- это линейное пpостpанство:

$\displaystyle f_1(x),f_2(x)\in\mathcal{C}_I;C_1,C_2=\mathrm{const}\quad\Longrightarrow \quad C_1f_1(x)+C_2f_2(x)\in\mathcal{C}_I.$

Более сложное свойство непрерывной функции выражает следующая теорема.

[an error occurred while processing this directive]

Теорема 3.6 (о корне непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке , причём и -- числа разных знаков. (Будем для определённости считать, что , а .) Тогда существует хотя бы одно такое значение $x_0\in(a;b)$ , что (то есть существует хотя бы один корень уравнения ).

Доказательство. Рассмотрим середину отрезка $c_1=\dfrac{a+b}{2}$ . Тогда либо ${f(c_1)=0}$ , либо , либо . В первом случае корень найден: это . В остальных двух случаях рассмотрим ту часть отрезка, на концах которой функция принимает значения разных знаков: в случае или в случае . Выбранную половину отрезка обозначим через и применим к ней ту же процедуру: разделим на две половины и , где $c_2=\dfrac{a_1+b_1}{2}$ , и найдём . В случае корень найден; в случае рассматриваем далее отрезок , в случае -- отрезок и т. д.

Получаем, что либо на некотором шаге будет найден корень , либо будет построена система вложенных отрезков

$\displaystyle [a;b]\sps[a_1;b_1]\sps[a_2;b_2]\sps\ldots\sps[a_i;b_i]\sps\ldots,$

в которой каждый следующий отрезок вдвое короче предыдущего. Последовательность $a_0=a,a_1,a_2,\dots,a_i,\dots$ -- неубывающая и ограниченная сверху (например, числом ); следовательно (по теореме 2.13), она имеет предел $\lim\limits_{i\to\infty}a_i=a'$ . Последовательность ${b_0=b,b_1,b_2,\dots,b_i,\dots}$ -- невозрастающая и ограниченная снизу (например, числом ); значит, существует предел $\lim\limits_{i\to\infty}b_i=b'$ . Поскольку длины отрезков образуют убывающую геометрическую прогрессию (со знаменателем $\frac{1}{2}$ ), то они стремятся к 0, и $\lim\limits_{i\to\infty}a_i=\lim\limits_{i\to\infty}b_i$ , то есть . Положим теперь . Тогда

$\displaystyle \lim_{i\to\infty}f(a_i)=f(a')=f(x_0)$ и $\displaystyle \lim_{i\to\infty}f(b_i)=f(b')=f(x_0),$

поскольку функция непрерывна. Однако, по построению последовательностей $\{a_i\}$ и $\{b_i\}$ , и , так что, по теореме о переходе к пределу в неравенстве (теорема 2.7), $\lim\limits_{i\to\infty}f(a_i)\leqslant 0$ и $\lim\limits_{i\to\infty}f(b_i)\geqslant 0$ , то есть $f(x_0)\leqslant 0$ и $f(x_0)\geqslant 0$ . Значит, , и -- корень уравнения .

Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказ
Теория представления знаний Степенная функция Показательная функция Логарифмическая Арифметическая прогрессии пределы Формула Тейлора Обратная матрица комплексные чисела координатные плоскости Метод Ньютона Нахождение точки пересечения прямой и плоскости Дифференциал Производная Правило Лопиталя Проекции вектора Функции и их графики Интегрирование по частям Дискретные по уровню или квантованные сигналы