Курсовая по математике об ограниченности непрерывной функции

Теорема 3.8 (об ограниченности непрерывной функции) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда ограничена на , то есть существует такая постоянная , что $\vert f(x)\vert\leqslant K$ при всех $x\in[a;b]$ .

Рис.3.23.Непрерывная на отрезке функция ограничена

Доказательство. Предположим обратное: пусть не ограничена, например, сверху. Тогда все множества ${M_1=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant f(a)+1\}}$ , ${M_2=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant f(a)+2\},\dots}$ , ${M_i=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant f(a)+i\},\dots}$ , не пусты. По предыдущей лемме в каждом из этих множеств имеется наименьшее значение , $i=1,2,\dots$ . Покажем, что

$\displaystyle x_0=a<x_1<x_2<\dots<x_i<\dots.$

Действительно, . Если какая-либо точка из $x_2,x_3,\dots$ , например , лежит между и , то

$\displaystyle f(x_0)=f(a)<f(x_1)=f(a)+1<f(x_i)=f(a)+i,$

то есть -- промежуточное значение между и . Значит, по теореме о промежуточном значении непрерывной функции, существует точка $x_*\in(x_0;x_i)$ , такая что , и $x_*\in M_1$ . Но , вопреки предположению о том, что -- наименьшее значение из множества . Отсюда следует, что при всех $i\geqslant 2$ .

Точно так же далее доказывается, что при всех $i\geqslant 3$ , при всех $i\geqslant 4$ , и т. д. Итак, $\{x_i\}$ -- возрастающая последовательность, ограниченная сверху числом . Поэтому существует $\lim\limits_{i\to\infty}x_i=x'$ . Из непрерывности функции следует, что существует $\lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)=f(x')$ , но $f(x_i)=f(a)+i\to+\infty$ при $i\to\infty$ , так что предела не существует. Полученное противоречие доказывает, что функция ограничена сверху.

Аналогично доказывается, что ограничена снизу, откуда следует утверждение теоремы.

Очевидно, что ослабить условия теоремы нельзя: если функция не является непрерывной, то она не обязана быть ограниченной на отрезке (приведём в качестве примера функцию

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 0,&\mbox{ при }x=0, \end{array}\right.$

на отрезке . Эта функция не ограничена на отрезке, так как при имеет точку разрыва второго рода, такую что $\vert f(x)\vert\to+\infty$ при $x\to0$ . Также нельзя заменить в условии теоремы отрезок интервалом или полуинтервалом: в качестве примера рассмотрим ту же функцию на полуинтервале . Функция непрерывна на этом полуинтервале, но неограничена, вследствие того что $f(x)\to+\infty$ при $x\to0+$ .

Поиск наилучших постоянных, которыми можно ограничить функцию сверху и снизу на заданном отрезке, естественным образом приводит нас к задаче об отыскании минимума и максимума непрерывной функции на этом отрезке. Возможность решения этой задачи описывается следующей теоремой.

Базисный минор, ранг матрицы

Примеры. 1. Найти ранг и указать какой-нибудь базисный минор матрицы .

Решение. Используем свойства ранга матрицы. Для удобства преобразуем матрицу так, чтобы в первой строке самый крайний слева элемент был равен единице. Для этого вычтем первую стоку из второй и преобразованную вторую строку поменяем местами с первой.

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

Третья строка равна второй и её можно вычеркнуть согласно свойству 6. Таким образом, исходная матрица в результате эквивалентных преобразований переходит в следующую:

В этой матрице имеются миноры второго порядка, отличные от нуля, например,

минор . Этот минор можно выбрать в качестве базисного. Следовательно, ранг исходной матрицы равен двум:

Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказ
Теория представления знаний Степенная функция Показательная функция Логарифмическая Арифметическая прогрессии пределы Формула Тейлора Обратная матрица комплексные чисела координатные плоскости Метод Ньютона Нахождение точки пересечения прямой и плоскости Дифференциал Производная Правило Лопиталя Проекции вектора Функции и их графики Интегрирование по частям Дискретные по уровню или квантованные сигналы