Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

 
      Теорема 3.9 (о достижении экстремума непрерывной функцией)   Пусть функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$. Тогда существует точка $ x_*\in[a;b]$, такая что $ f(x_*)\leqslant f(x)$ при всех $ x\in[a;b]$ (то есть $ x_*$ -- точка минимума: $ f(x_*)=\min\limits_{x\in[a;b]}f(x)$), и существует точка $ x_{**}\in[a;b]$, такая что $ f(x_{**})\geqslant f(x)$ при всех $ x\in[a;b]$ (то есть $ x_{**}$ -- точка максимума: $ f(x_{**})=\max\limits_{x\in[a;b]}f(x)$). Иными словами, минимальное и максимальное значения непрерывной функции на отрезке существуют и достигаются в некоторых точках $ x_*$ и $ x_{**}$ этого отрезка.

Рис.3.24.Непрерывная на отрезке функция достигает максимума и минимума

        Доказательство.     Так как по предыдущей теореме функция $ f(x)$ ограничена на $ [a;b]$ сверху, то существует точная верхняя грань значений функции на $ [a;b]$ -- число $ K=\sup\limits_{x\in[a;b]}\{f(x)\}$. Тем самым, множества $ M_1=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant K-1\}$, $ {M_2=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant K-\frac{1}{2}\}}$,..., $ M_i=\{x\in[a;b]:f(x)\geqslant K-\frac{1}{i}\}$,..., не пусты, и по предыдущей лемме в них есть наименьшие значения $ x_i$: $ f(x_i\geqslant K-\frac{1}{i}$, $ i=1,2,\dots$. Эти $ x_i$ не убывают (доказывается это утверждение точно так же, как в предыдущей теореме):

$\displaystyle x_1\leqslant x_2\leqslant x_3\leqslant \dots\leqslant x_i\leqslant \dots,$

и ограничены сверху числом $ b$. Поэтому, по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности, существует предел $ \lim\limits_{i\to\infty}x_i=x_{**}.$ Так как $ f(x_i)\geqslant K-\frac{1}{i}$, то и

$\displaystyle \lim\limits_{i\to\infty}f(x_i)=f(x_{**})\geqslant \lim\limits_{i\to\infty}(K-\frac{1}{i})=K,$

по теореме о переходе к пределу в неравенстве, то есть $ f(x_{**})\geqslant K$. Но при всех $ x\in[a;b]$ $ f(x)\leqslant K$, и в том числе $ f(x_{**})\leqslant K$. Отсюда получается, что $ f(x_{**})=K$, то есть максимум функции достигается в точке $ x_{**}$.

Аналогично доказывается существование точки минимума.     

В этой теореме, как и в предыдущей, нельзя ослабить условия: если функция не является непрерывной, то она может не достигать своего максимального или минимального значения на отрезке, даже будучи ограниченной. Для примера возьмём функцию

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1+x,&\mbox{ при }x\in[-1;0);\\ 0,&\mbox{ при }x\in[0;1], \end{array}\right. $

на отрезке $ [-1;1]$. Эта функция ограничена на отрезке (очевидно, что $ \vert f(x)\vert\leqslant 1$) и $ \sup\limits_{x\in[-1;1]}\{f(x)\}=1$, однако значение 1 она не принимает ни в одной точке отрезка (заметим, что $ f(0)=0$, а не 1). Дело в том, что эта функция имеет разрыв первого рода в точке $ x=0$, так что при $ x\to0-$ предел $ f(x)$ не равен значению функции в точке 0. Далее, непрерывная функция, заданная на интервале или другом множестве, не являющемся замкнутым отрезком (на полуинтервале, полуоси) также может не принимать экстремального значения. В качестве примера рассмотрим функцию $ f(x)=x$ на интервале $ (0;1)$. Очевидно, что функция непрерывна и что $ \inf\limits_{x\in(0;1)}=0$ и $ \sup\limits_{x\in(0;1)}=1$, однако ни значения 0, ни значения 1 функция не принимает ни в какой точке интервала $ (0;1)$. Рассмотрим также функцию $ f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$ на полуоси $ [0;+\infty)$. Эта функция непрерывна на $ [0;+\infty)$, возрастает, принимает своё минимальное значение 0 в точке $ x=0$, но не принимает ни в какой точке максимального значения (хотя ограничена сверху числом  $ \dfrac{\pi}{2}$ и $ \sup\limits_{x\in[0;+\infty)}f(x)=\dfrac{\pi}{2}).$

Заметим, что доказанная теорема не даёт практического способа находить точки минимума и максимума функции на заданном отрезке. Такой способ мы обсудим позднее, когда изучим понятие производной. Однако теорема важна тем, что даёт нам уверенность в том, что искомый экстремум существует и мы сможем его отыскать.

Свойства определителей.

При транспонировании матрицы определитель не меняется.

При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет только знак.

При умножении строки (столбца) на некоторое число определитель умножается на это число. 

Если все соответствующие элементы квадратных матриц одного порядка одинаковы, за исключением элементов одной i-ой строки, то .

Величина определителя не изменяется, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

Определитель равен нулю, если

- все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю.

 - две строки (столбца) одинаковы.

- две строки (столбца) определителя пропорциональны.

Определение и вычисление несобственных интегралов по бесконечному промежутку

При вычислении и исследовании определённых интегралов учитывается основополагающее утверждение о том, что непрерывная на конечном интервале функция имеет первообразную (теорема Коши). Эта первообразная не всегда выражается через конечное число элементарных функций, но важно то, что она существует. При выполнении условий теоремы Коши определённый интеграл будем называть собственным, подразумевая наличие у него первообразной. Если один из пределов интегрирования не является конечным, то говорят о несобственном интеграле по бесконечному промежутку или первого рода, который определяют через предельный переход:

(1а)  

 Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл по бесконечному промежутку называется сходящимся, в противном случае – расходящимся (если предел не существует или равен бесконечности). Аналогично определению (1а) имеем: 

(1б)  

(1в)  где a<c<b.

 Интегралы, определённые формулами (1а) и (1б), будем называть несобственными интегралами с одной особенностью (соответственно на верхнем или нижнем пределах интегрирования).

 Пример 1. Вычислить несобственные интегралы по бесконечному промежутку или установить их расходимость:

Математический анализ Типовые расчеты по математике