Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч
Пример 3.16 Пусть функциярассматривается на интервале
. Если фиксирована точка
, то для заданного
мы можем выбрать
так, что
при всех
таких, что
; для нахождения
нужно решить неравенство
относительно
(напомним, что точка
фиксирована):
[an error occurred while processing this directive]
Из чисели
выберем минимальное:
Тогда прибудет
. Проанализируем, однако, зависимость
от
: при
, приближающемся к 0, значения
будут убывать и стремиться к 0 (при неизменном значении
), что хорошо видно на следующем чертеже:
Рис.3.25.Изменениев зависимости от положения точки
![]()
При приближении точкик началу координат нам приходится по одному и тому же
выбирать всё меньшие
-окрестности точки
, чтобы обеспечить выполнение неравенства
. Выбрать
общим для всех
, очевидно, невозможно: при заданном
какое бы фиксированное число
ни было взято, мы можем поместить точку
так близко от 0, что значения
и
будут отличаться друг от друга больше, чем на
, хотя
. Это означает, что функция не является равномерно непрерывной на интервале
.
Теорема 3.10 Пустьи функция
непрерывна на
. Тогда
равномерно непрерывна на
.
Доказательство этой теоремы достаточно сложно и основывается на тонких свойствах системы действительных чисел, а именно, на том, что любой замкнутый отрезок
является компактом Мы пропускаем здесь доказательство теоремы, отсылая за ним заинтересованного читателя к подробным курсам математического анализа, например, Никольский С.М., Курс математического анализа, т. 1. -- М.: Наука, 1991; Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1. -- М.-Л.: ГИТТЛ, 1948 и др. годы изд.
В качестве следствия равномерной непрерывности легко получается утверждение теоремы 3.8, а именно,
Следствие 3.1 Любая функция, непрерывная на замкнутом отрезке
, ограничена на
(то есть существует такое число
, что
при всех
).
Приведём это доказательство (хотя теорема 3.8 была ранее доказана другим способом):
Доказательство. Фиксируем какое-либо число
, например
, и выберем
такое, что при всех
, для которых
, будет
. Разобьём
на отрезки длины
:
![]()
(мы положили
; длина последнего отрезка может оказаться меньше
). Выберем в качестве
середину
каждого из отрезков:
![]()
Тогда для каждого
выполняется неравенство
и, следовательно,
. Это неравенство эквивалентно такому:
, или
. Поскольку точек
конечное число (а именно,
), то мы можем взять минимальное из чисел
,
, и максимальное из чисел
,
:
![]()
Тогда для любого
верно неравенство
, и осталось взять
. При этом для любого
будет
, что означает ограниченность функции
на
.
Об симптотах графика функции
Пример Доказать, что функция
непрерывна в точке х0=3.
Решение. Приведем два доказательства.
Доказательство на языке
. Рассмотрим
- окрестность точки x0=3. Для
имеем:
или
Далее для
имеем:
Для числителя имеем:
.
Для знаменателя имеем: x-3 достаточно мало и поэтому
4+x-3>0. Тогда
, так как
.
Следовательно,
.
Пусть
. Тогда
.
Итак, для
можно подобрать
такое, что
для всех х :
.
Очевидно, что
можно выбирать и меньше полученного числа, т.е.
.
Доказательство на языке приращений.
Имеем:
Так как
, то функция непрерывна в точке х0=3.
Преимущество второго метода доказательства несомненно.
Определение и вычисление несобственных интегралов от разрывных функций
Если подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке ![]()
и непрерывна в окрестности этой точки,
то говорят о несобственном интеграле от разрывной функции или второго рода, который
определяют опять-таки через предельный переход следующим образом:
(2) ![]()

Несобственный интеграл от разрывной функции
,
называется сходящимся, если существуют оба конечных предела в правой части соотношения (2), и – расходящимся, если не существует или равен бесконечности хотя бы один из них. Если разрыв подынтегральной функции находится только в одной из граничных точек промежутка интегрирования (a или b), то есть имеет место лишь один предел в правой части соотношения (2), то говорят о несобственном интеграле второго рода с одной особой точкой.
Пример 3. Вычислить несобственные интегралы от разрывных функций или установить их расходимость:
a).
б).
в).
.
Решения. а). Так как точка
разрыва подынтегральной функции
находится внутри промежутка интегрирования, то разбиваем его на два участка так,
чтобы в каждом было по одной особенности на верхнем или нижнем пределе промежутка
интегрирования. Итак, имеем:
;
стало быть, исследуемый интеграл расходится. Если не учитывать, что подынтегральная
функция терпит разрыв внутри промежутка интегрирования, то получим, естественно,
неверный результат:
.
| Математический анализ Типовые расчеты по математике |