Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

 
  Пример 12.9   Постройте кривую $\displaystyle x+1+\sqrt{2-2y^2+4y}=0.$
Решение. Преобразуем уравнение к виду
$\displaystyle -(x+1)=\sqrt{2-2y^2+4y}.$(12.12)

Возведем обе части в квадрат:
$\displaystyle (x+1)^2=2-2y^2+4y.$
При этом появились новые точки, которые удовлетворяют последнему уравнению, но не удовлетворяют уравнению (12.12). Эти посторонние точки мы отбросим потом. Выделим полный квадрат по переменному $ y$ :
$\displaystyle (x+1)^2=2-2(y^2-2y+1)+2,$
то есть
$\displaystyle (x+1)^2+2(y-1)^2=4.$
Обе части разделим на 4 и произведем параллельный перенос системы координат: $ {\tilde x=x-(-1)}$ , $ {\tilde y=y-1}$ . Получим уравнение
$\displaystyle \frac{\tilde x^2}4+\frac{\tilde y^2}2=1,$
которое является каноническим уравнением эллипса с полуосями: 2 и $ \sqrt 2$ . Нарисуем его (рис. 12.22).



Рис.12.22.Эллипс, заданный уравнением $ (x+1)^2+2(y-1)^2=4$


Чтобы отбросить посторонние точки, возникшие при возведении в квадрат, преобразуем уравнение (12.12) к виду
$\displaystyle x=-1-\sqrt{2-2y^2+4y}.$
Из этого уравнения видно, что $ {x\leqslant -1}$ . Поэтому от нарисованного ранее эллипса нужно оставить только левую половину (рис. 12.23).


Рис.12.23.Кривая, заданная уравнением $ x+1+\sqrt{2-2y^2+4y}=0$

Последний рисунок и является ответом к задаче.         
    

Об симптотах графика функции

Пример Исследовать на непрерывность и построить графики следующих функций:

а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) ,

е) .

в) . Функция определена всюду, кроме точки

х= -2. Исследуем поведение функции в окрестности точки х=-2.

Имеем:

Точка х= -2 - точка разрыва 1-го рода.

Скачок функции в этой точке равен:

 

Так как , то прямая  является горизонтальной (двусторонней) асимптотой. Известно, что .

 Строим график (Рис.2.3).

 

 

 

 

 

 

 

Рис.2.3

Определение и вычисление несобственных интегралов от разрывных функций

  Если подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке  и непрерывна в окрестности этой точки, то говорят о несобственном интеграле от разрывной функции или второго рода, который определяют опять-таки через предельный переход следующим образом:

(2) 

 Несобственный интеграл от разрывной функции ,

называется сходящимся, если существуют оба конечных предела в правой части соотношения (2), и – расходящимся, если не существует или равен бесконечности хотя бы один из них. Если разрыв подынтегральной функции находится только в одной из граничных точек промежутка интегрирования (a или b), то есть имеет место лишь один предел в правой части соотношения (2), то говорят о несобственном интеграле второго рода с одной особой точкой.

  Пример 3. Вычислить несобственные интегралы от разрывных функций или установить их расходимость:

a).  б).  в). . 

Решения. а). Так как точка разрыва подынтегральной функции   находится внутри промежутка интегрирования, то разбиваем его на два участка так, чтобы в каждом было по одной особенности на верхнем или нижнем пределе промежутка интегрирования. Итак, имеем:

;

стало быть, исследуемый интеграл расходится. Если не учитывать, что подынтегральная функция терпит разрыв внутри промежутка интегрирования, то получим, естественно, неверный результат: .

Математический анализ Типовые расчеты по математике