Дипломные работы, курсовые проекты, контрольные работы на заказдипломы,диссертации,курсовые,контрольные,рефераты,отчеты на заказ

Упражнение 3.2 Докажите приведённые выше формулы, исходя из определений гиперболических функций.

Подобно тому, как равенство $ \cos^2t+\sin^2t=1$ выражает тот факт, что точка координатной плоскости $ xOy$ с координатами $ x=\cos t$, $ y=\sin t$ при изменении параметра $ t$ движется по окружности радиуса 1, заданной уравнением $ x^2+y^2=1$ (и называемой тригонометрическим кругом), равенство $ \mathop{\rm ch}\nolimits ^2t-\mathop{\rm sh}\nolimits ^2t=1$ говорит о том, что точка с координатами $ x=\mathop{\rm ch}\nolimits t$, $ y=\mathop{\rm sh}\nolimits t$ движется по равносторонней гиперболе, заданной уравнением $ x^2-y^2=1$. Отсюда и происходит название: гиперболические функции.

Функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, $ \mathop{\rm th}\nolimits $ непрерывны и монотонно возрастают на своих областях определения. Поэтому они имеют обратные функции, которые также монотонно возрастают и непрервыны. Функция, обратная к функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, называется обратным гиперболическим синусом, или ареа-синусом, и обозначается $ \mathop{\rm arsh}\nolimits $. Имеем: $ {\mathop{\rm arsh}\nolimits :\mathbb{R}\to\mathbb{R}}$, $ {y=\mathop{\rm arsh}\nolimits x\Longleftrightarrow x=\mathop{\rm sh}\nolimits y}$. Функция, обратная к функции $ \mathop{\rm th}\nolimits $, называется обратным гиперболическим тангенсом, или ареа-тангенсом, и обозначается $ \mathop{\rm arth}\nolimits $. Итак, $ {\mathop{\rm arth}\nolimits :(-1;1)\to\mathbb{R}}$, $ {y=\mathop{\rm arth}\nolimits x\Longleftrightarrow x=\mathop{\rm th}\nolimits y}$.

Рис.3.27.Графики функций $ y=\mathop{\rm arsh}\nolimits x$ и $ y=\mathop{\rm arth}\nolimits x$

Функция $ \mathop{\rm cth}\nolimits $, хотя и имеет разрыв в точке 0, монотонна на интервалах $ (-\infty;0)$ и $ (0;+\infty)$ и принимает каждое своё значение ровно один раз. Поэтому существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим котангенсом, или ареа-котангенсом, обозначаемая $ \mathop{\rm arcth}\nolimits $. Она определена на $ (-\infty;1)\cup(1;+\infty)$ и принимает значения в множестве $ \mathbb{R}\diagdown \{0\}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.

Рис.3.28.График функции $ y=\mathop{\rm arcth}\nolimits x$

Функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits $ не является монотонной на всей своей области определения. Однако монотонно (и непрерывно) её ограничение на полуось $ [0;+\infty)$, при этом функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits \vert _{[0;+\infty)}$ принимает все значения из $ [1;+\infty)$. Поэтому для этого ограничения существует обратная функция, называемая обратным гиперболическим косинусом, или ареа-косинусом и обозначаемая $ \mathop{\rm arch}\nolimits $. Она непрерывна на своей области определения $ [1;+\infty)$ и принимает значения на $ [0;+\infty)$.

Возможен вариант: вместо ограничения на $ [0;+\infty)$ можно рассмотреть ограничение функции $ \mathop{\rm ch}\nolimits $ на $ (-\infty;0]$, а затем функцию, обратную к этому ограничению. Эту функцию часто также называют ареа-косинусом и обозначают $ \mathop{\rm arch}\nolimits $, однако нужно чётко осознавать, что при таком построении получается другая функция (будем обозначать её здесь $ \mathop{\rm arch}\nolimits _-$). Итак, $ \mathop{\rm arch}\nolimits :[1;+\infty)\to[0;+\infty)$ и $ \mathop{\rm arch}\nolimits _-:[1;+\infty)\to(-\infty;0]$.

Рис.3.29.Графики функций $ y=\mathop{\rm arch}\nolimits x$ и $ y=\mathop{\rm arch}\nolimits _-x$

Замечание 3.3 В англоязычной литературе используется обозначение $ \sinh^{-1}$ вместо $ \mathop{\rm arsh}\nolimits $, $ \cosh^{-1}$ вместо $ \mathop{\rm arch}\nolimits $, $ \tanh^{-1}$ вместо $ \mathop{\rm arth}\nolimits $, $ \coth^{-1}$ вместо $ \mathop{\rm arcth}\nolimits $.

Упражнение 3.3 Докажите, пользуясь определением гиперболических функций, что ареа-функции выражаются через логарифмическую функцию следующим образом:
$\displaystyle \mathop{\rm arsh}\nolimits x=\ln(x+\sqrt{x^2+1});$
$\displaystyle \mathop{\rm arch}\nolimits x=\ln(x+\sqrt{x^2-1});$
$\displaystyle \mathop{\rm arch}\nolimits _-x=\ln(x-\sqrt{x^2-1});$
$\displaystyle \mathop{\rm arth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x};$
$\displaystyle \mathop{\rm arcth}\nolimits x=\frac{1}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}.$

 

Построение графика функции с помощью свойств элементарных функций.

Пример 3.6. Построить график функции . Решение. Так как , то , т.е..

Область определения функции определяем из неравенства

Так как y(-x) = y(x), то функция четная. Нули функции: y = 0, если

  или 

  

  x = -2, x =2

 y(-2) = y(2) = 0.

Наибольшее значение функция достигает в точках, где


x = 0 - ось симметрии; . график функции представлен на рис. 16.

Другой важнейшей характеристикой ЭВМ является емкость запоминающих устройств Решить матричные уравнения Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Даниил Бернулли родился 29 января 1700г. в Гронингене (Голландия), где его отец преподавал математику в университете. В 1705г. семья переехала в город Базель (Швейцария), где Иоганн Бернулли "унаследовал" место профессора математики после смерти своего старшего брата Якоба. Даниил учился в Базельской гимназии. Дифференцирование и интегральное исчисление После окончания гимназии в 1713г. его отправили во Францию совершенствовать знание французского языка.Теоpема Гаусса для поля в диэлектpикe. Электpостатика лекции и конспекты по физике После возвращения на родину в 1716 г. он получил звание магистра философии. По настоянию отца Даниил занялся изучением медицины, как наиболее практичной из профессий. Он учился в Гейдельберге, в Страсбурге и после защиты диссертации "О дыхании" в 1720 г. стал лиценциатом медицины. Но сердце Даниила не лежало к врачебной деятельности, его больше влекло к математическим наукам. Степенные ряды Примеры решения задач математика

 
коммутационные схемы Перечень команд AutoCAD ; Метод суперпозиции