Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

Степенная функция Показательная функция Логарифмическая Арифметическая прогрессии пределы Формула Тейлора Обратная матрица комплексные чисела Метод Ньютона Нахождени е дифференциала Производная Правило Лопиталя Проекции вектора Функции и их графики

В этой главе мы рассмотрим поверхности, которые "похожи" на поверхности, образованные вращением кривой второго порядка вокруг ее оси симметрии. Например, сфера может быть получена вращением окружности вокруг диаметра. Однако, наряду с такими поверхностями мы встретимся и с более сложными случаями.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат.

Определение 13.1 Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением

[an error occurred while processing this directive]

(13.1)

В дальнейшем будет показано, что поверхности второго порядка, за исключением случаев сильного вырождения, можно разделить на пять классов: эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы и цилиндры. Для каждой из поверхностей существует декартова прямоугольная система координат, в которой поверхность задается простым уравнением, называемым каноническим уравнением. Этот факт будет обоснован позже.

В этой главе мы укажем канонические уравнения для поверхностей второго порядка и покажем, как выглядят эти поверхности.

Другие неопределенности.

а) Неопределенность  приводится к виду  с помощью равенства  или к виду  с помощью равенства .

б) Неопределенность  приводят с помощью преобразования  к виду , если . Если же , то предел равен  (или ).

в) Непределенность 00 или  приводятся к вышерассмотренным с помощью преобразования:

Неопределенность  также можно раскрывать с помощью последнего преобразования, но лучше пользоваться формулами, приведенными в §2.

Определение и вычисление несобственных интегралов от разрывных функций

  Если подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке  и непрерывна в окрестности этой точки, то говорят о несобственном интеграле от разрывной функции или второго рода, который определяют опять-таки через предельный переход следующим образом:

(2) 

 Несобственный интеграл от разрывной функции ,

называется сходящимся, если существуют оба конечных предела в правой части соотношения (2), и – расходящимся, если не существует или равен бесконечности хотя бы один из них. Если разрыв подынтегральной функции находится только в одной из граничных точек промежутка интегрирования (a или b), то есть имеет место лишь один предел в правой части соотношения (2), то говорят о несобственном интеграле второго рода с одной особой точкой.

  Пример 3. Вычислить несобственные интегралы от разрывных функций или установить их расходимость:

a).  б).  в). . 

Решения. а). Так как точка разрыва подынтегральной функции   находится внутри промежутка интегрирования, то разбиваем его на два участка так, чтобы в каждом было по одной особенности на верхнем или нижнем пределе промежутка интегрирования. Итак, имеем:

;

стало быть, исследуемый интеграл расходится. Если не учитывать, что подынтегральная функция терпит разрыв внутри промежутка интегрирования, то получим, естественно, неверный результат: .