Лекции и конспекты по математике Примеры решения задч

        Пример 3.17   Пусть функция $ f(x)$ определена на интервале $ (0;4)$ следующим образом:
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{1}{x},&\mbox{ если }x\in(0;... ...x,&\mbox{ если }x\in(2;3];\\ 2,&\mbox{ если }x\in(3;4). \end{array}\right. $
Найдём её область непрерывности и точки разрыва.
Поскольку внутри интервалов $ (0;1)$, $ (1;2)$, $ (2;3)$, $ (3;4)$ функция $ f(x)$ совпадает с ограничениями на эти интервалы элементарных функций $ \dfrac{1}{x}$, $ x^2$, $ 5-x$, 2 соответственно, то все эти интервалы входят в область непрерывности и точек разрыва там нет. Точками разрыва могут оказаться (но не обязательно окажутся!) лишь точки на стыках этих интервалов, то есть точки $ x=1$, $ x=2$, $ x=3$.
Для выяснения того, непрерывна ли функция в точке $ x=1$, найдём пределы слева и справа:
$\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{1}=1;$
[an error occurred while processing this directive]
$\displaystyle \lim_{x\to1+}f(x)=\lim_{x\to1+}x^2=1^2=1.$
При этом мы воспользовались тем, что как элементарная функция $ \dfrac{1}{x}$ (с областью определения $ \mathbb{R}\diagdown \{0\}$), так и элементарная функция $ x^2$ (с областью определения $ \mathbb{R}$) имеют $ x=1$ внутренней точкой своих областей определения, непрерывны в этой точке, и значения пределов можно найти прямой подстановкой. Поскольку пределы слева и справа в точке 1 совпали и, кроме того, $ f(1)=\dfrac{1}{1}=1$, то условия непрерывности в точке 1 выполнены; разрыва в этой точке нет.
Точно так же исследуем функцию на непрерывность в точке $ x=2$. Найдём пределы слева и справа:
$\displaystyle \lim_{x\to2-}f(x)=\lim_{x\to2-}x^2=2^2=4;$
$\displaystyle \lim_{x\to2+}f(x)=\lim_{x\to2+}(5-x)=5-2=3.$
Поскольку пределы слева и справа при $ x\to2$ существуют, но не совпадают, функция имеет разрыв первого рода при $ x=2$.
Теперь найдём пределы при $ x\to3-$ и $ x\to3+$:
$\displaystyle \lim_{x\to3-}f(x)=\lim_{x\to3-}(5-x)=5-3=2;$
$\displaystyle \lim_{x\to3+}f(x)=\lim_{x\to3+}2=2.$
Здесь пределы слева и справа совпадают между собой и со значением функции в точке 3: $ f(3)=5-3=2$. Значит, $ x=3$ -- точка непрерывности.
Итак, функция имеет единственную точку разрыва $ x=2$, в которой происходит неустранимый разрыв первого рода; область непрерывности функции состоит из объединения двух интервалов: $ (0;2)\cup(2;4)$.     

С помощью правила Лопиталя

 6.1. Неопределенности  и .

Правило Лопиталя: Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний предел существует.

 

Буква  над знаком равенства означает, что для вычисления предела применяется правило Лопиталя. В этих формулах х может стремиться и к бесконечности . Если после применения правила Лопиталя непределенность  или   сохраняется , то следует применить еще раз правило Лопиталя.

Определение и вычисление несобственных интегралов от разрывных функций

  Если подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке  и непрерывна в окрестности этой точки, то говорят о несобственном интеграле от разрывной функции или второго рода, который определяют опять-таки через предельный переход следующим образом:

(2) 

 Несобственный интеграл от разрывной функции ,

называется сходящимся, если существуют оба конечных предела в правой части соотношения (2), и – расходящимся, если не существует или равен бесконечности хотя бы один из них. Если разрыв подынтегральной функции находится только в одной из граничных точек промежутка интегрирования (a или b), то есть имеет место лишь один предел в правой части соотношения (2), то говорят о несобственном интеграле второго рода с одной особой точкой.

  Пример 3. Вычислить несобственные интегралы от разрывных функций или установить их расходимость:

a).  б).  в). . 

Решения. а). Так как точка разрыва подынтегральной функции   находится внутри промежутка интегрирования, то разбиваем его на два участка так, чтобы в каждом было по одной особенности на верхнем или нижнем пределе промежутка интегрирования. Итак, имеем:

;

стало быть, исследуемый интеграл расходится. Если не учитывать, что подынтегральная функция терпит разрыв внутри промежутка интегрирования, то получим, естественно, неверный результат: .

Математический анализ Типовые расчеты по математике